Approximationsverbände der Rough Set Theory in begriffsanalytischer Darstellung

• Antragsteller: Professor Dr. Bernhard Ganter
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2008 bis 2012
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 83596767

• Erstellungsjahr: 2012

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Es geht bei diesem Vorhaben um die approximative Darstellung und Verarbeitung von Mengen, allerdings ohne dass auf eine Metrik Bezug genomen werden kann. Die Fragestellung ergibt sich aus dem Umstand, dass Mengensysteme, die aus realen Daten entstehen, schnell derart umfangreich werden, dass eine vereinfachende Betrachtung erzwungen wird. Einen Ansatz dafür bietet die Rough Set Theory mit ihren oberen und unteren Approximationen von Mengen, die mittels einer Ununterscheidbarkeitsrelation definiert werden. Allerdings ist dieser Zugang für viele Zwecke zu einfach. Verallgemeinerungsversuche führten bisher sämtlich auf algebraisch wenig brauchbare Strukturen. Im Laufe des nun abgeschlossenen Förderzeitraums wurde eine strukturell anspruchsvollere Konstruktion ausgearbeitet, die auf subdirekten Produkten vollständiger Verbände aufbaut. Dadurch konnte eine reichhaltige und vielversprechende Theorie bereit gestellt werden. Bis zur praktischen Anwendung ist allerdings noch viel Arbeit zu leisten. Unter der Voraussetzung, dass die Menge der zu approximierenden Objekte einen vollständigen Verband bildet, wurde in unserem Projekt angenommen, dass die beste untere und die beste obere Approximation durch einen Kernoperator [·] bzw. durch einen Hüllenoperator [·] auf dem vollständigen Verband beschrieben wird. Unter diesen Annahmen ist es möglich, die Verbandsordnung auf einen "Verband von Approximationen“ zu übertragen. Letzterer wird von der Menge der Approximationen ( [x] , [x] ) der Verbandselemente x erzeugt. Die auf diese Weise entstehenden Approximationsverbände waren Hauptgegenstand der Forschung in diesem Projekt. Als Hauptergebnis präsentieren wir eine Theorie der Approximationen in vollstädigen Verbänden. Diese erweitert nicht nur den klassischen Fall der Approximationsa verbände der Rough Set Theory, sondern ist beispielsweise auch aussagekräftig genug, die klassische Intervallarithmetik mit zu beschreiben (allerdings nur prinzipiell; die Intervallarithmetik war nicht Gegenstand dieser Untersuchung). Insbesondere interessierten wir uns dabei für Approximationen in Begriffsverbänden. Wie sich herausstellte, kann man in diesem Fall nämlich die Approximationen als Spuren interpretieren, welche die Begriffe in einem fest gewählten Teilkontext hinterlassen. Dies bietet unter anderem die Möglichkeit, in riesigen Begriffsverbänden zu "browsen“, indem man sich immer nur den Verband der Spuren in einem Teilkontext anzeigen lässt und dann wahlweise den ausgewählten Teilkontext vergrößert oder in eine Spur herein-”zoomt“. Wir meinen, damit einen Theorierahmen geschaffen zu haben, der langfristig den praktischen Umgang mit verbandsgeordneten Mengensystemen, wie sie etwa die Formale Begriffsanalyse zur Datenanalyse verwendet, auf erheblich umfangreichere Systeme erweitern kann.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• A Formal Concept Analysis Approach to Rough Data Tables. In Hiroshi Sakai, Mihir K. Chakraborty, Aboul Ella Hassanien, Dominik Slezak, and William Zhu, editors, Rough Sets, Fuzzy Sets, Data Mining and Granular Computing, 12th International Conference, RSFDGrC 2009, Delhi, India, December 15-18, 2009. Proceedings, volume 5908 of Lecture Notes in Computer Science, pages 117–126, 2009
  Bernhard Ganter and Christian Meschke
  
• Robust Elements in Rough Set Abstractions. In S. Ferre and S. Rudolph, editors, ICFCA 2009, number 5548 in LNAI, pages 114–129. Springer Verlag, 2009
  Christian Meschke
  
• Approximations in Concept Lattices. In Léonard Kwuida and Baris Sertkaya, editors, ICFCA, volume 5986 of Lecture Notes in Computer Science, pages 104–123. Springer, 2010
  Christian Meschke
  
• Merging Ordered a Sets. In Petko Valtchev and Robert Jäschke, editors, ICFCA, volume 6628 of Lecture Notes in Computer Science, pages 183–203. Springer, 2011
  Bernhard Ganter, Christian Meschke, and Henri Mühle
  
• A Formal Concept Analysis Approach to Rough Data Tables. In James F. Peters, Andrzej Skowron, Hiroshi Sakai, Mihir Kumar Chakraborty, and Dominik Slezak, editors, Transactions on Rough Sets XIV, pages 37–61. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2011
  Bernhard Ganter and Christian Meschke
  
• Concept Approximations: Approximative Notions for Concept Lattices. PhD thesis, Technische Universität Dresden, Januar 2012
  Christian Meschke