Blöcke mit metazyklischen Defektgruppen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Eine der zentralen Aufgaben der modularen Darstellungstheorie ist die Bestimmung der Struktur eines p-Blocks B für eine Primzahl p bei vorgegebener Defektgruppe D. Insbesondere gehört dazu die Berechnung der Anzahl k(B) der irreduziblen gewöhnlichen Charaktere und der Anzahl l(B) der irreduziblen Brauer-Charaktere in B. Ferner möchte man die Höhen der irreduziblen gewöhnlichen Charaktere in B kennen. Diese Aufgabe konnte im Rahmen des DFG-Projekts für 2-Blöcke B mit den folgenden Typen von Defektgruppen D gelöst werden: (i) D ist metazyklisch; (ii) D ist minimal nichtabelsch (d. h. jede echte Untergruppe von D ist abelsch, D selbst jedoch nicht); (ii) D ist minimal nichtmetazyklisch (d. h. jede echte Untergruppe von D ist metazyklisch, D selbst jedoch nicht); (iv) D ist isomorph zu D2n × C2m, Q2n × C2m , SD2n × C2m oder D2n ∗ C2m für gewisse m,n ∈ N . Als Anwendung konnten eine Reihe grundlegender numerischer Vermutungen für die obigen Blöcke verifiziert werden. Dazu gehören Alperins Gewichtsvermutung, die Alperin-McKay-Vermutung, Brauers k(B)-Vermutung, Brauers Höhe-Null-Vermutung, Dades Vermutung und Olssons Vermutung. Brauers k(B)-Vermutung besagt, dass für einen p-Block B mit Defektgruppe D stets k(B) ≤ |D| gilt. Im folgenden bezeichne C die Cartan-Matrix und e(B) den Trägheitsindex von B. Zusätzlich zu den oben erwähnten Fällen konnte Brauers k(B)-Vermutung in den folgenden Fällen bestätigt werden: (i) l(B) ≤ 4 und det(C) = |D|; (ii) D ist eine zentrale Erweiterung einer metazyklischen 2-Gruppe mit einer zyklischen 2-Gruppe; (iii) D ist eine zentrale Erweiterung einer elementarabelschen Gruppe der Ordnung 8 mit einer zyklischen 2-Gruppe; (iv) D ist eine abelsche 2-Gruppe und hat höchstens Rang 3; (v) |D| ≤ 32, und D ist nicht isomorph zu D8 ∗ D8; (vi) D enthält eine zentrale zyklische Untergruppe Q mit |D : Q| = 16. Ferner ist D/Q nicht elementarabelsch, oder e(B) ist nicht durch 9 teilbar; (vii) D enthält eine zentrale zyklische Untergruppe Q, deren Index ein Teiler von 9 ist. Olssons Vermutung besagt, dass für die Anzahl k0 (B) der irreduziblen gewöhnlichen Charaktere der Höhe Null in einem Block B mit Defektgruppe D stets k0 (B) ≤ |D : D'| gilt; dabei bezeichnet D' die Kommutatorgruppe von D. Zusätzlich zu den oben bereits erwähnten Fällen konnte die Olsson-Vermutung in den folgenden Fällen bestätigt werden: (i) D ist minimal nichtabelsch und p 6= 3; (ii) Der Rang von D ist höchstens 2, und p > 3; (iii) p = 3, der Rang von D ist höchstens 2, und B ist kontrolliert; (iv) B ist kontrolliert, und D hat maximale Nilpotenzklasse.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- 2-Blocks with minimal nonabelian defect groups, J. Algebra 337 (2011), 261-284
B. Sambale
- 2-Blocks with minimal nonabelian defect groups II, J. Group Theory
C. Eaton, B. Külshammer und B. Sambale
(Siehe online unter https://doi.org/10.1515/JGT.2011.110) - Cartan matrices and Brauer’s k(B)-conjecture II, J. Algebra 337 (2011), 345-362
B. Sambale
- Cartan matrices and Brauer’s k(B)-conjecture, J. Algebra 331 (2011), 416-427
B. Sambale
- Blocks with defect group D 2 n × C 2 m , J. Pure Appl. Algebra 216 (2012), 119-125
B. Sambale
