Rechtfertigung von Approximationsgleichungen für Wasserwellen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Untersucht wurden die Modellgleichungen für die Dynamik von Wassenwellen in zwei Raumdimensionen. In der Literatur existieren verschiedene Beweise, dass die Lösungen der Gleichungen des zweidimensionalen Wasserwellenproblems bei endlicher Wassertiefe im Grenzfall von Wellen mit großer Wellenlänge auf einem physikalisch relevanten Zeitintervall durch Lösungen der Korteweg-de Vries-Gleichung approximiert werden können. Diese Beweise wurden entweder in Euler- oder in Lagrangekoordinaten durchgeführt. Im Rahmen des vorliegenden Forschungsprojektes wurde die Gültigkeit der Korteweg-de Vries-Approximation in der Bogenlängenformulierung des zweidimensionalen Wassenwellenproblems bewiesen. Verglichen mit den anderen Approximationsbeweisen, ist dieser Beweis einfacher, elementarer und kürzer. Außerdem ist er der einzige Approximationsbeweis, in dem die Fälle von Wasserwellen mit und ohne Oberflächenspannung gemeinsam in einem Beweis behandelt werden können. Die dabei entwickelten Methoden lassen sich zum Beweisen von Approximationssätzen für das Wassenwellenproblem bei komplizierteren Rahmenbedingungen übertragen und sind hilfreich für die Weiterentwicklung der Stabilitätstheorie für Solitärwellen und approximative Multisolitonen. Somit dienen sie auch als wirkungsvolles neues Werkzeug für die weitere Erforschung der offenen Fragen auf diesem Gebiet.
