Adaptive Finite-Elemente-Methoden zur Paramteridentifikation von hierarchischen Modellen für Elastomere
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Zur Fehlerschätzung mittels einer Zielgröße ist eine schwache Formulierung für den gewählten Ansatz nach Meidner/Vexler erforderlich. Die Schätzung des Fehlers aufgrund der Diskretisierung in der Zeit als auch im Raum, die für zeitabhängige Probleme nötig ist, erfordert damit eine schwache Formulierung in Raum und Zeit. Die Aufstellung dieser Formulierung mit anschließender Diskretisierung in Raum und Zeit stellt einen wesentlichen Aspekt dieser Arbeit dar. Besonderes Augenmerk gilt dabei der Verknüpfung zu üblichen FE Implementierungen in der Strukturmechanik für zeitabhängige (hier: inelastische) Probleme. Diese sind charakterisiert durch globale Freiheitsgrade (i.d.R. Verschiebungen) an den FE Knoten und lokale Freiheitsgrade (interne Variablen des Materialmodells) an den Integrationspunkten sowie zugehörige (nicht-lineare) Gleichungen. Dies ermöglicht es, ein zwei-Level Newton Verfahren zur Lösung zu verwenden. Diese Struktur ist auch für das bezüglich der Zielgröße duale Problem hergeleitet worden, das für die Fehlerschätzung erforderlich ist. Der Vorteil ist, dass sich so die Fehlerschätzung so einfacher in übliche FE Implementierungen einbringen lässt, ohne dass Materialmodelle etc. umformuliert werden müssen. Fehlerindikatoren zur adaptiven Netzverfeinerung unter Verwendung von „verbesserten“ Lösungen höherer Ordnung vervollständigen diesen Aspekt. Numerische Beispiele zu von Mises Plastizität bei kleinen Deformationen und Viskoelastizität bei großen Deformationen belegen die Funktionstüchtigkeit dieser Methode. Die Ergebnisse, die so für das direkte Problem gewonnen werden konnten, lassen sich direkt auf das inverse Problem übertragen und stellen einen wesentlichen Zwischenschritt im Projekt dar. Das duale Problem, das für das inverse Problem erzeugt wurde, ist von der numerischen Struktur identisch zu dem des direkten Problems. Es müssen lediglich einfache Hilfsprobleme zusätzlich gelöst werden. Das gleiche gilt für die Fehlerschätzung. Die erarbeiteten Fehlerindikatoren weisen ebenfalls die gleiche Struktur auf. Die Ergänzung um Zeitadaptivität hat sich als umfangreicher herausgestellt, als zunächst erwartet. Die für die Fehlerschätzung benötigten schwachen Formen in Raum und Zeit mussten erst für inelastische (d.h. auch zeitabhängige) Probleme aufgestellt werden, da diese sich bisher kaum oder unzureichend in der Literatur finden ließen. Außerdem stehen diese Formulierungen in gewissem Gegensatz zu klassischen FE Implementierungen mit internen Variablen an den Integrationspunkten. Um diese Verbindung herzustellen und die vorhandene Lücke zu schließen, wurde zunächst nur das direkte Problem für kleine Deformationen mit von Mises Plastizität betrachtet. Wichtige Aspekte dabei sind, dass für das sich ergebende duale Problem möglichst gleiche Strukturen wie bei dem vorhandenen primalen Problem entstehen (z.B. tangentiale Steifigkeitsmatrix). Erst dann fand eine Erweiterung auf große Deformationen und das inverse Problem statt. Da zudem der Bewilligungszeitraum reduziert wurde, musste der ursprüngliche Zeitplan in einigen Punkten geändert werden.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- „An error indicator for parameter identification with stabilized mixed tetrahedrals“. PAMM · Proc. Appl. Math. Mech. 11, 299 – 300 (2011)
K.-U. Widany und R. Mahnken
(Siehe online unter https://dx.doi.org/10.1002/pamm.201110141) - „Adaptive FEM with Stabilized Elements for Parameter Identification of Incompressible Hyperelastic Materials“. Proc. Appl. Math. Mech. 83rd Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM). (Darmstadt). Hrsg. von H.-D. Alber, N. Kraynyukova und C. Tropea. Bd. 12. 1. 2012, S. 213–214
K.-U. Widany und R. Mahnken
(Siehe online unter https://dx.doi.org/10.1002/pamm.201210097) - „Adaptivity for parameter identification of incompressible hyperelastic materials using stabilized tetrahedral elements“. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 245-246 (2012), S. 117–131
K.-U. Widany und R. Mahnken
(Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.cma.2012.06.017) - „Approximation of the dual problem for error estimation in inelastic problems“. Proc. Appl. Math. Mech. 85th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM). (Erlangen). Hrsg. von P. Steinmann und G. Leugering. Bd. 14. 2014, S. 273–274
K.-U. Widany und R. Mahnken
(Siehe online unter https://dx.doi.org/10.1002/pamm.201410124) - „Adaptive FEM with goal-oriented error estimation and an approximation of the dual problem for inelastic problems“. Proc. Appl. Math. Mech. 86th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM). (Lecce). Hrsg. von G. Zavarise, P. Cinnella und M. Campiti. Bd. 15. 2015, S. 607–608
K.-U. Widany und R. Mahnken
(Siehe online unter https://dx.doi.org/10.1002/pamm.201510293) - „Dual-based adaptive FEM for inelastic problems with standard FE implementations“. Int. J. Numer. Meth. Engng (2015)
K.-U. Widany und R. Mahnken
(Siehe online unter https://doi.org/10.1002/nme.5156)
