Modellreduktion bei elastischen Mehrkörpersystemen mit wandernden Interaktionsstellen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Ziel des Projekts war die Untersuchung verschiedener Modellierungsansätze und die Entwicklung von Modellreduktionsverfahren für elastische Mehrkörpersysteme mit wandernden flächigen Interaktionen. Solche Systeme werden zur Modellierung und numerischen Analyse mechanischer Strukturen unter Berücksichtigung elastischer Effekte und bewegter Flächenlasten in vielen praktischen Anwendungen verwendet. Zur Modellierung wandernder Interaktionsstellen wurden zwei verschiedene Ansätze herangezogen. Zum einen wurden die bewegten Interaktionskräfte mittels parameterabhängiger Eingangs- und Ausgangsmatrizen modelliert, was auf parametrische Multi-Input-Multi-Output-Systeme führte. Zum anderen wurden die wandernden Lasten mit Hilfe von zeitvariablen Eingangs- und Ausgangsmatrizen beschrieben, welche durch zeitabhängige Trajektorien der angreifenden Kräfte bestimmt werden. Die beiden Modellierungsansätze erfordern unterschiedliche Modellreduktionstechniken, welche für die zugrundeliegenden Differentialgleichungen besonders geeignet sind. Daher wurden sowohl parametrische Modellreduktionsverfahren als auch Reduktionsmethoden für zeitvariable mechanische Systeme umfassend untersucht und weiterentwickelt. Hierbei wurden zwei neue Ansätze zur Modellreduktion parametrischer Systeme erarbeitet, welche auf dem Verfahren des balancierten Abschneidens kombiniert mit der Interpolation auf Matrixmannigfaltigkeiten oder mit der Reduzierte-Basis-Methode für Lyapunov-Matrixgleichungen basieren. Um die Reduktion parametrischer Systeme mit vielen Eingängen zu ermöglichen, wurde die strukturerhaltende Reduzierte-Basis-Methode für mechanische Systeme zweiter Ordnung untersucht. Darüber hinaus wurden drei verschiedene Modellreduktionsverfahren für zeitvariable Systeme analysiert. Das erste Verfahren stützt sich auf balanciertes Abschneiden und erfordert die numerische Lösung von Lyapunov-Differentialgleichungen. Im zweiten Verfahren wird die Approximation der Eingangs- und Ausgangsmatrizen in niedrigdimensionalen Unterräumen mit der Modellreduktion zeitinvarianter Systeme mit neu definierten Eingängen und Ausgängen kombiniert. Der dritte Ansatz basiert auf der Modellreduktion geschalteter Systeme, welche durch die Näherung der zeitabhängigen Eingangs- und Ausgangsmatrizen mittes stückweise konstanter matrixwertiger Funktionen entstehen. Ferner wurde die Modellreduktion differentiell-algebraischer Gleichungen untersucht und ein projektorenfreier Reduktionsansatz für Mehrkörpersysteme mit holonomen Zwangsbedingungen entwickelt. Ein wichtiger Forschungsaspekt für alle untersuchten Modellreduktionsverfaren war die Herleitung geeigneter Fehlerschätzer, welche einerseits die Bestimmung optimaler Parameter bei der Konstruktion reduzierter Basen in der parametrischen Modellreduktion ermöglichen und andererseits eine Automatisierung des Reduktionsprozesses erlauben.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Balanced truncation model reduction for linear timevarying systems. Mathematical and Computer Modelling of Dynamical Systems, 22(4): 267-281, 2016
N. Lang, J. Saak, T. Stykel
(Siehe online unter https://doi.org/10.1080/13873954.2016.1198386) - Model order reduction of differential-algebraic equations: a survey. In Surveys in Differential-Algebraic Equations IV, A. Ilchmann, T. Reis, eds., Differential-Algebraic Equations Forum, Springer International Publishing, Switzerland, pp. 107-160, 2017
P. Benner, T. Stykel
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/978-3-319-46618-7_3) - Solving parameter-dependent Lyapunov equations using the reduced basis method with application to parametric model order reduction. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 38(2):478-504, 2017
N.T. Son, T. Stykel
(Siehe online unter https://doi.org/10.1137/15M1027097) - H2 Pseudo-optimal reduction of structured DAEs by rational interpolation
P. Seiwald, A. Castagnotto, T. Stykel, B. Lohmann
