Optimaler und zuverlässiger Betrieb von komplexen Prozessen mit nicht normal verteilten unsicheren Variablen unter Wahrscheinlichkeitsrestriktionen - Erweiterung auf die modellprädiktive Regelung von parabolischen partiellen Differentialgleichungssystemen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Das Optimierungsproblem unter Wahrscheinlichkeitsrestriktionen und die modellprädiktive Regelung von Systemen mit partiellen Differentialgleichungen (CCPDE bzw. CCMPCE von PDE) stellen eine enorme theoretische und rechnerische Herausforderung dar. In der Regel werden numerische Lösungen für solche Probleme durch ein Approximationsverfahren gewonnen. Im ersten Teil der Forschungsarbeit in diesem Projekts wurde unser Ansatz der Inner-Outer-Approximation durch die Analyse seiner Eigenschaften auf elliptische CCPDE-Probleme mit raumabhängigen Zufallsfeldern in der Randwertbedingung des PDE-Systems erweitert und angewandt. Für die Lösung dieses Problems haben wir die Existenz und Eindeutigkeits der Lösung sowie die wichtigsten strukturellen Eigenschaften hergeleitet und bewiesen. Darüber hinaus wurden die verallgemeinerten Ableitungen der Approximationsmethode analyisert und die Konvexität sowohl für die inneren als auch für die äußeren Approximationsprobleme abgeleitet, wodurch es sichergestellt ist, dass die Optimalitätsbedingung erster Ordnung ausreicht, um solche Probleme numerisch zu lösen. Der nächste Schritt war die Durchführung ähnlicher Untersuchungen für allgemeinere parabolische CCPDE-Probleme mit Unsicherheiten in den Koeffizienten, in der Antriebsfunktion und in der Randwertbedingung. Für diese Untersuchung haben wir bereits die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung und einige strukturelle Eigenschaften bewiesen, aber dieser Teil der Arbeit ist noch nicht abgeschlossen. Der zweite Teil unserer Arbeit im Projekt konzentrierte sich auf die Entwicklung von CCMPC für parabolische PDE-Systeme mit zufälligen Parametern. Wir haben ein neues CCMPC-Schema vorgeschlagen, das folgende Vorteile bietet: die Zulässigkeit ist unabhängig von der Verteilung der Eingangsunsicherheiten (beschränkte oder unbeschränkte Unsicherheiten) gewährleistet, durch die Konstruktion von deterministischen Tubes ist die Zulässigkeit über den gesamten Kontrollhorizont gewährleistet, was zu einer robusten Erfüllung der Nebenbedingungen führt, und die deterministischen Tubes werden automatisch konstruiert, was weder zusätzliche Rechenkosten verursacht noch zusätzliche vereinfachende Annahmen über das Problem erfordert. Die Allgemeingültigkeit des vorgeschlagenen Schemas wurde anhand einer Fallstudie zur Hyperthermie-Behandlung von Krebstumoren mit zufälligem Wärmeleitfähigkeitskoeffizienten demonstriert. Um das zugrundeliegende CCMPC-Schema zu implementieren, haben wir eine Reihe von Transformationen auf das ursprüngliche Problem angewandt, um es in zwei von hochdimensionalen deterministischen zustandsbeschränkten NLP-Problemen umzuwandeln, deren Lösung eine Approximierung der des ursprünglichen Problems darstellt. Numerische Ergebnisse zeigten die Zulässigkeit des vorgeschlagenen Schemas, verifizierten die angegebenen Eigenschaften und zeigten auch einige Verbesserungsmöglichkeiten auf. Nämlich erwies sich der Ansatz als recht rechenintensiv, was auf die Notwendigkeit einer Verkürzung des prädiktiven Horizonts hinweist. Letzteres kann durch die Analyse der Stabilitätseigenschaften und die Ermittlung eines minimalen stabilisierenden Horizonts für CCMPC erreicht werden. Diese und andere Fragen werden den Schwerpunkt unserer zukünftigen Forschung bilden.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Analytic approximation and differentiability of joint chance constraints. Optimization, 68, 10, 2019
Geletu A., Hoffmann A., Li P.
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A Computation approach to chance Constrained optimization of boundary-Value parabolic partial differential equation systems. 21st IFAC World Congress, Berlin, Germany, July 12-17, 2020
Nida, K., Geletu, A., Li, P.
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Chance constrained optimization of elliptic PDE systems with a smoothing convex approximation. ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 26, 70, 2020
Geletu A., Hoffmann A., Schmidt P., Li P.
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Chance constrained model predictive control of parabolic PDE systems with random parameters. 31st European Conference on Operational Research, Athens, Greece, July 11-14, 2021
Voropai, R., Geletu, A., Li, P.
