Effiziente und garantierte Abschätzung erreichbarer Mengen nichtlinearer Systeme

• Antragsteller: Professor Dr. Gunther Reißig
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2011 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 200605936

• Erstellungsjahr: 2015

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Erreichbare Mengen enthalten genau diejenigen Zustände eines dynamischen Systems, die unter bestimmten Bedingungen und zu bestimmten Zeiten unter der gegebenen Systemdynamik erreicht werden können. Diese Mengen stellen ein zentrales Konzept der Regelungs- und Systemtheorie dar und spielen u.a. bei der Lösung von Regelungsproblemen mit Hilfe von Abstraktionen eine entscheidende Rolle. Ziel des Projektes war es, Verfahren zur Abschätzung erreichbarer Mengen nichtlinearer Abtastsysteme zu entwickeln, die sich speziell für den abstraktionsbasierten Reglerentwurf eignen. Dabei sollten rigoros beweisbare geometrische Eigenschaften solcher erreichbarer Mengen in den Berechnungsverfahren ausgenutzt werden. Zunächst wurden dazu geometrische Eigenschaften ganz allgemeiner Mengen untersucht. Die Ergebnisse umfassen lokale Charakterisierungen der starken Konvexität, sowie notwendige und hinreichende Bedingungen für die Konvexität und die starke Konvexität von Subniveaumengen. In Anwendung dieser Resultate wurde ein Verfahren zur Überapproximation erreichbarer Mengen mit Hilfe von Stützkugeln vorgeschlagen. Im Vergleich zu den bisher verwendeten Stützhalbräumen führt es bei gleichem Rechenaufwand und geringerem Speicherbedarf zu einem geringeren Approximationsfehler und einer höheren Genauigkeit der berechneten Abstraktionen, was die Lösung einer Regelungsaufgabe oft erst ermöglicht. Zudem wurde eine besonders effiziente Methode zur Überapproximation erreichbarer Mengen vorgeschlagen, die den Rechenaufwand beim abstraktionsbasierten Reglerentwurf gegenüber etablierten Verfahren um mehr als drei Größenordnungen verringert. Vom ursprünglichen Konzept des Projekts mußte stellenweise abgewichen werden. So sollten Abstraktionen eigentlich auf der Basis von alternierenden Simulationsrelationen berechnet werden. Es stellte sich aber heraus, daß dieses Konzept auf sehr komplexe Regler führt, die auf üblicher Prozeßrechentechnik gar nicht implementierbar sind. Als Alternative wurden dann Feedback Refinement Relations eingeführt und untersucht, die auf Regler von wesentlich geringerer Komplexität führen und erfolgreich implementiert und am Laboraufbau getestet werden konnten. Außerdem wurden Schwächen des zunächst verfolgten Ansatzes zur Kopplung von Abschätzungs- und Verfeinerungsverfahren erkannt und der Ansatz schließlich verworfen. Stattdessen wurden Regelungsaufgaben als Optimalsteuerungsprobleme formuliert und darauf hingearbeitet, den Unterschied zwischen der Wertefunktion und den durch den berechneten Regler tatsächlich verursachten Kosten geeignet abzuschätzen und diese Abschätzung als Heuristik zur lokalen Verfeinerung heranzuziehen. Dabei wurde eine Methode zur abstraktionsbasierten Lösung von Optimalsteuerungsproblemen gefunden, die eine Folge oberer, gegen die Wertefunktion konvergierender Schranken liefert.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Abstraction-based solution of optimal stopping problems under uncertainty. In Proc. IEEE Conf. Decision and Control (CDC), Florence, Italy, 10-13 Dec. 2013, pages 3190–3196, New York, 2013. IEEE. RG:257923813
  G. Reissig and M. Rungger
  
• Local characterization of strongly convex sets. J. Math. Anal. Appl., 400(2):743– 750, Apr. 2013
  A. Weber and G. Reißig
  
• Strongly convex attainable sets and low complexity finite-state controllers. In Proc. Australian Control Conf. (AUCC), Perth, Australia, 4-5 Nov. 2013, pages 61–66, 2013. RG:258302564
  A. Weber and G. Reissig
  
• Classical and strong convexity of sublevel sets and application to attainable sets of nonlinear systems. SIAM J. Control Optim., 52(5):2857–2876, 2014
  A. Weber and G. Reissig
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1137/130945983)
• Feedback refinement relations for symbolic controller synthesis. In Proc. IEEE Conf. Decision and Control (CDC), Los Angeles, CA, U.S.A., 15-17 Dec. 2014, pages 88–94, New York, 2014. IEEE. RG:264236049
  G. Reissig and M. Rungger
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1109/TAC.2016.2593947)
• Feedback refinement relations for the synthesis of symbolic controllers. IEEE Trans. Automat. Control, 2015
  G. Reissig, A. Weber, and M. Rungger
  
• State space grids for low complexity abstractions. In Proc. IEEE Conf. Decision and Control (CDC), Osaka, Japan, 15-18 Dec. 2015, New York, 2015. IEEE
  M. Rungger, A. Weber, and G. Reissig
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1109/CDC.2015.7403185)