Mathematische Untersuchung eines räumlich gekoppelten Modells für die Polarisierung von Zellen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Ziel des Projekts war die mathematische Analyse von Polarisierungsprozessen in Zellen. Das Entstehen und Aufrechterhalten heterogener Verteilungen von biochemischen Botenstoffen (hier GTPasen) stellt einen für wichtige biologische Funktionen entscheidenden Symmetriebruch dar. Wir haben mathematische Modelle zur Zellpolarisation untersucht, die durch räumlich gekoppelte Systeme von Reaktions-Diffusionsgleichungen, im Innern und auf dem Rand der Zelle, gegeben sind. Solche Modelle berücksichtigen insbesondere An-/Ablagerungs- und Aktivierungs-/Deaktivierungsprozesse an der Membran und die unterschiedlichen Geschwindigkeiten der Diffusion im Innern und der lateralen Diffusion auf dem Rand. In Zusammenarbeit mit Dr. A. Ratz (TU Dortmund) ist es uns gelungen, in einem solchen mathematischen Modell die Existenz eines Symmetriebruchs in Folge diffusiven Instabilitäten räumlich homogener Zustände nachzuweisen und notwendige und hinreichende Bedingungen für die lineare Instabilität zu charakterisieren. Unsere Untersuchung beschreibt damit eine neue Variante einer Turing-Instabilität, die wesentlich auf der räumlichen Kopplung beruht. Räumlich gekoppelte Systeme erfordern in der mathematischen Behandlung spezifische Methoden und Erweiterungen der bekannten Theorie. Ziel dieses Projekts war es insbesondere für eine breite Klasse von Systemen die mathematische Wohlgestelltheit nachweisen. Dem Stelleninhaber S. Hausberg (TU Dortmund) ist es im Rahmen seiner Dissertation gelungen, die Existenz und Eindeutigkeit von schwachen und klassischen Lösungen, Nichtnegativität und gleichmäßige Schranken an die Lösungen, sowie die stetige Abhängigkeit von den Anfangsdaten zu beweisen. Verschiedene Mechanismen können für einen Symmetriebruch verantwortlich sein. Einen von diffusiven Instabilitäten verschiedenen Beitrag zur Polarisierung haben wir in einem weiteren Teil des Projekts untersucht. Dieser beruht auf einem aktiven Transport von GTPasen entlang des Zytoske-letts und einen speziellen feedback Mechanismus. Im mathematischen Modell drückt sich das als ein zusätzlicher advektiver Term aus, wie er bei der Beschreibung chemotaktischer Bewegung auftritt, hier allerdings in Verbindung mit einer deutlich indirekteren aber auch komplexeren Selbstverstärkung. In Zusammenarbeit mit Dr. K. Anguige (Universität Freiburg, vorher TU Dortmund) konnten wir die Existenz und Eindeutigkeit von klassischen Lösungen für kleine Daten nachweisen und so eine wichtige Grundlage für die weitere mathematische Untersuchung solcher Modelle liefern.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Symmetry breaking in a bulk–surface reaction–diffusion model for signalling networks. Nonlinearity, 27(8):1805, 2014
A. Ratz und M. Roger
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Global existence for a bulk/surface model for activetransport-induced polarisation in biological cells
K. Anguige und M. Roger
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Mathematical Analysis of a spatially coupled Reaction-Diffusion System for Signaling Networks in Biological Cells. Dissertation, TU Dortmund, 2016. II, 108 S.
S. Hausberg
