Coxeter-Catalan Kombinatorik
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Coxeter-Catalan Kombinatorik ist ein sehr aktiver Forschungsbereich innerhalb der algebraischen und geometrischen Kombinatorik, mit Verbindungen zu anderen Bereichen, beispielsweise zur Darstellungs- und Invariantentheorie, zur Singularitätentheorie und zur algebraischen Geometrie. Das zentrale Element dieser Forschungsrichtung sind einheitliche Beschreibungen von Phänomenen, die in den verschiedenen Bereichen auftreten, um dadurch Zusammenhange zwischen den a priori unverbundenen Konzepten zu entwickeln. Den Bereichen ist gemein, dass sogenannte Cartan-Killing-Klassifizierungen existieren, und für die natürliche Konstruktionen eine zentrale Rolle spielen, die von Verallgemeinerungen der berühmten Catalanzahlen abgezählt werden. In diesem Projekt wurden Verbindungen zwischen den folgenden Forschungsrichtungen untersucht: Wurzelsysteme, Spiegelungsgruppen, Clusteralgebren, Unterwortkomplexe. Ziel dieses Forschungsprojekts war es, ein tieferes Verständnis der kombinatorischen Strukturen und deren Verbindungen zu entwickeln. Die wichtigsten Ergebnisse sind: (1) Eine detailierte und uniforme Verallgemeinerung von nichtkreuzenden Partitionen, von Clusterkomplexen für endliche Wurzelsysteme und von Spiegelungsgruppen im Kontext von Artingruppen bzw. von positiven Artinmonoiden. Dies verknüpft bestimmte Strukturen in allen vier genannten Bereichen auf uniforme Weise und könnte der Startpunkt für eine uniforme Theorie rationaler Coxeter-Catalan Kombinatorik sein. In diesem Forschungsfeld haben wir in erster Linie kombinatorisch (insbesondere Coxeter-theoretisch) gearbeitet, wobei auch geometrische Betrachtungen (beispielsweise die k(π, 1)-Eigenschaft von endlichen Spiegelungsgruppen) und darstellungstheoretische Betrachtungen (insbesondere die Darstellungstheorie von erblichen Artinalgebren) eine Rolle spielten. (2) Eine algebro-geometrische Beschreibung natürlicher, zu Spiegelungsarrangements komplexer Spiegelungsgruppen assoziierter, Multi-Derivationsmoduln mit Hilfe der Singularitätentheorie von Diskriminantenhyperflächen (Quotientenvarietäten von Spiegelungsarrangements) sowie einer Hodgefiltrierung der spiegelungsinvarianten logarithmischen Vektorfelder. In diesem Forschungsfeld haben wir in erster Linie (differential-)geometrisch auf der Quotientenvarietät von Spiegelungsarrangements gearbeitet und insbesondere eine relativ neue Struktur von flat fundamental invariants untersucht. Diese Untersuchungen führten zu intensivem Austausch mit Forschungsgruppen in Japan, die diese Strukturen in den letzten Jahren eingeführt hatten. (3) Eine, zu Teilen vermutete aber mit Hilfe von Computeralgebra sehr gut getestete, enge Verbindung zwischen der kombintorischen Struktur bestimmter Unterwortkomplexe und der algebraischen Struktur von Clusteralgebren endlichen Typs, insbesondere eine Beschreibung der c- und g-Vektoren sowie der F-polynome und der Clustervariablen. Weiterhin liefern diese Beschreibungen neue Zerlegungseigenschaften von Assoziedern endlichen Typs sowie neuartige vermutete diskret-geometrische Beschreibungen von Clusterkomplexen allgemeiner Clusteralgebren. In diesem Forschungsfeld haben wir rekursive Beschreibungen (Mutationen) sowohl der kombinatorischen als auch der algebraischen Strukturen untersucht und in ersten Fällen auch zeigen können, wie diese interagieren. Die Hauptfragen in diesem Feld haben wir nur vermuteterweise lösen können, weitere Untersuchungen stehen noch aus.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Noncrossing sets and a Graßmann associahedron. Forum Math. Sigma 5, e5, 49 pages, 2017
Christian Stump, F. Santos and V. Welker
(Siehe online unter https://doi.org/10.1017/fms.2017.1) - A Hodge filtration of logarithmic vector fields for complex reflection groups. 19 pages, 2018
Christian Stump, T. Abe, G. Röhrle and M. Yoshinaga
- Cataland: Why the Fuß? 132 pages, 2018
Christian Stump, H. Thomas and N. Williams
- Lipschitz polytopes of posets and permutation statistics. J. Combin. Theory Ser. A 158, 605-620, 2018
Christian Stump, R. Sanyal
(Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.jcta.2018.04.006) - Towards a uniform subword complex description of finite type cluster algebras. Alg. Combin. 1(4), 545-572, 2018
Christian Stump, S. Brodsky
(Siehe online unter https://doi.org/10.5802/alco.25) - Freeness of multi-reflection arrangements via primitive vector fields. Adv. Math. 350, 63-96, 2019
Christian Stump, T. Hoge, T. Mano and G. Röhrle
(Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.04.044)
