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Projekt
Constructive derived equivalences and equivariant vector bundles
Antragsteller
Professor Dr. Mohamed Barakat
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung von 2013 bis 2017
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 239466887
Mathematiker entwickeln immer neue und abstraktere Mittel, um schwierige Probleme zu lösen und scheinbar entfernte Bereiche der Mathematik zu verbinden. Dies stellt die Computeralgebra vor neuen Herausforderungen. Durch die Entstehung von höheren Programmiersprachen können diese Mittel nun ihren Weg zur Computeralgebra finden. Das Softwareprojekt homalg ist aus dem Bedürfnis entstanden, abstrakte Begriffe der Kategorientheorie und der homologischen Algebra dem Computer zugänglich zu machen. Beide Theorien verfügen über effiziente ordnende Strukturen, die sich in transparente Algorithmen übersetzen lassen. Solche Algorithmen sind in der Lage viele unterschiedliche Rechnungen zu organisieren und enorme Datenmenge zu verwalten. Das homalg Projekt wurde so entwickelt, dass es Abstraktion und Effizienz in einem System vereinen kann; zwei Ziele die traditionell im Konflikt stehen. Das Projekt wurde in GAP4 entwickelt und ist jetzt in der Lage mit nahezu allen Computeralgebrasystemen des Schwerpunktes SPP1489 zu interagieren, allen voran SINGULAR und polymake. Abstrakte ABELsche Kategorien sind bereits in homalg formalisiert. Im Hinblick auf viele verschiedene Anwendungen werden wir nun derivierte Kategorien und derivierte Äquivalenzen konstruktiv machen. Derivierte Äquivalenzen sind in der Lage zwischen wesentlich unterschiedlichen ABELschen Kategorien zu vermitteln. Dies ist eine Einladung für die Computeralgebra um Welten zu wechseln; weg von Datenstrukturen mit unnötiger Zusatzstruktur hin zu kompakteren Darstellungen der mathematischen Objekte, wodurch die Rechengeschwindigkeit erheblich gesteigert wird. In unserem Kontext sind dies diverse Kippäquivalenzen zwischen derivierten Kategorien von kohärenten Garben auf torischen Varietäten und derivierten Modulkategorien über endlich-dimensionalen nichtkommutativen Algebren. Unser Ziel ist ein System zu schaffen, in dem solche abstrakten Äquivalenzen algorithmisch zugänglich werden. Die Hauptanwendung des Projektes ist die Suche nach Vektorbündeln vom niedrigen Rang, die unter einer endlichen Gruppe äquivariant sind.
DFG-Verfahren
Schwerpunktprogramme
