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Projekt
Arrangements of complex reflection groups: Geometry and combinatorics
Antragsteller
Professor Dr. Michael Cuntz; Professor Dr. Gerhard Röhrle
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung von 2013 bis 2018
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 239469709
Die Theorie der Hyperebenenarrangements ist mit weiten Teilen der Mathematik eng vebunden. Der Einsatz moderner Computeralgebra ermöglicht signifikante Fortschritte bei der Beantwortung von z. T. lange bestehenden Vermutungen, die kombinatorische und geometrische Eigenschaften von Hyperebenenarrangements betreffen. In einer gemeinsamen Arbeit mit Hoge gelang jüngst durch einen Computer-unterstützten Beweis die Bestätigung einer Vermutung von Orlik und Terao von 1992 über die Frage nach der Freiheit von Einschränkungen von Spiegelungsarrangements von komplexen Spiegelungsgruppen. Diese Einschränkungen sind für das Verständnis des zugrundeliegenden Arrangements von großer Bedeutung. Gegenstand dieses Antrages ist es, weitere kombinatorische und geometrische Eigenschaften von Spiegelungsarrangements zu untersuchen. Dabei konzentrieren wir uns auf folgende drei Schwerpunkte. Erst kürzlich konnte Bessis die sogenannte K(π, 1)-Eigenschaft für alle Spiegelungsarrangements nachweisen, und damit eine wichtige Vermutung aus den 1980er Jahren bestätigen. Orlik und Terao vermuteten in den 1990er Jahren, daß diese Eigenschaft auch für alle Einschränkungen von Spiegelungsarrangements gilt. Für Coxeter Gruppen ist dies dank der bahnbrechenden Arbeit von Deligne seit 1972 bekannt. Unser erstes Ziel in diesem Vorhaben ist es, diese Vermutung zu beweisen, die zu einem besseren Verständnis der topologischen Natur von Spiegelungsarrangements beitragen wird. Der von Saito eingeführte Begriff der Freiheit spielt eine Schlüsselrolle im Verständnis von Hyperebenenarrangements. Neben diesem gibt es den stärkeren Begriff der induktiven Freiheit und den etwas schwächeren von rekursiver Freiheit. Es ist seit langem bekannt, daß freie Arrangements nicht notwendigerweise induktiv frei sind. Umgekehrt ist es jedoch eine seit 1992 nach wie vor offene Vermutung von Orlik und Terao, ob jedes freie Arrangement bereits rekursiv frei ist. In einer jüngeren gemeinsamen Arbeit mit Hoge wurde die Klasse von induktiv freien Spiegelungsarrangements bestimmt. In unserem zweiten Forschungsvorhaben wollen wir uns Fragen von Freiheit von Spiegelungsarrangements und deren Einschränkungen widmen und insbesondere die gerade angesprochene Vermutung von Orlik und Terao für Spiegelungsarrangements bestätigen. In einem dritten Projekt wollen wir Betrachtungen jenseits von Spiegelungsarrangements anstellen und allgemeiner simpliziale Arrangements untersuchen. Ziel ist es dabei, mit Hilfe einer Datenbank von Cuntz kombinatorische Invarianten zu bestimmen, die eine Unterscheidung von den freien und induktiv freien Arrangements unter den simplizialen ermöglichen. Die Durchführung dieser Vorhaben wird zu einem tieferen Verständnis sowohl von komplexen Spiegelungsgruppen und ihren Arrangements, als auch darüber hinaus von allgemeinen Hyperebenenarrangements beitragen.
DFG-Verfahren
Schwerpunktprogramme
