Annihilatoren und Kerne in Katos Kohomologie in positiver Characteristic und in Wittgruppen in Charakteristik 2

• Antragsteller: Professor Dr. Detlev Hoffmann
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 248466702

Grundlegende Objekte in der Algebra sind Gruppen, Ringe und Körper. Gruppen sind Objekte, die aus Elementen bestehen die mittels einer Gruppenoperation nach genauen Regeln zu neuen Elementen kombiniert werden können. Beispiele sind die Rotationen im Raum, oder die ganzen Zahlen mit der üblichen Addition. Ringe bestehen aus Elementen, die eine Gruppe bilden mit einer Addition als Verknüpfung, die aber auch multipliziert werden können, wobei die Interaktion von Addition und Multiplikation strikten Regeln gehorcht. Die ganzen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation bilden einen Ring. Körper sind Ringe, in denen die Multiplikation besonders gute Eigenschaften hat, z.B. gibt es zu jedem Element ungleich Null ein Reziprokes. Die rationalen und die reellen Zahlen sind Beispiele von Körpern. Algebraiker interessieren sich oft für Objekte, welche über Ringen oder Körpern definiert sind, z.B. Gleichungen, die durch ein Polynom in einer oder mehreren Variablen mit Koeffizienten in einem Ring oder Körper gegeben sind. Solche Gleichungen lassen sich nach gewissen Regeln umformen, und eine natürliche Frage ist, zu entscheiden, wann eine Gleichung sich in eine andere umformen lässt, d.h. wann zwei Gleichungen "äquivalent" sind. Hierzu versucht man, gewisse Invarianten zu finden, die äquivalenten Gleichungen gemein sind. Quadratische Formen können als polynomiale Gleichungen vom Grad 2 in mehreren Variablen aufgefasst werden und sie wurden seit Jahrhunderten intensiv studiert. Ein wichtiges Klassifikationsresultat ist dabei der Beweis der sog. Milnorvermutungen durch Voevodsky (Fieldsmedaille 2002 u.A. hierfür), wobei quadratische Formen in engen Bezug gesetzt werden mit sog. Galoiskohomologiegruppen und Milnor K-Gruppen im Fall von Körpern in denen 2 ungleich 0 gilt. Analoge Ergebnisse für Körper mit 2 gleich 0 gehen auf Kazuya Kato in den 1980ern zurück, wobei er die in unserer Terminologie sog. Kato Kohomologiegruppen benutzte. Diese sind wichtig im Studium von Körper in denen eine Primzahl p gleich 0 ist und sie haben viele Anwendungen, z.B. in Zahlentheorie (Klassenkörpertheorie). Um diese wichtigen Gruppen besser zu verstehen, untersuchen wir zwei Fragen: 1. Gegeben ein Element in Kato Kohomologie, welche Elemente in Kato Kohomologie werden Null wenn man sie mit dem gegebenen multipliziert, d.h. wir wollen den "Annihilator" des gegebenen Elements bestimmen, 2. Welche Elemente in Kato Kohomologie werden Null, wenn man von einem Körper zu einem größeren übergeht, d.h. wir wollen den "Kern der Restriktionsabbildung" so einer Körpererweiterung bestimmen. Wir wollen ebenfalls analoge Fragen für Wittgruppen von Körpern in denen 2 gleich 0 gilt, studieren. Diese Wittgruppen klassifizieren i.W. quadratische (bzw. bilineare) Formen über solchen Körpern, und durch Katos Resultate sind diese Wittgruppen eng verbunden mit den Kato Kohomologiegruppen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Chile
• Partnerorganisation: Comisión Nacional de Investigación Cientifica; y Tecnológica - CONICYT
• Beteiligte Personen: Professor Dr. Roberto Aravire; Professor Dr. Ricardo Baeza