Time-periodic solutions with internal and boundary layers to singularly perturbed parabolic problems: Existence, approximation and domain of attraction

• Applicant: Privatdozent Dr. Lutz Recke
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2014 to 2017
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 259134773

• Final Report Year: 2018

Final Report Abstract

Wie im Antrag vorgesehen waren zeitlich-periodische Lösungen mit inneren und Randschichten von singulär gestörten parabolischen Randwertproblemen der Hauptgegenstand der Arbeiten. Die wesentlichen Themen in diesen Arbeiten waren: Konstruktion von approximierenden Lösungen; Beweis der Existenz und lokalen Eindeutigkeit einer exakten Lösung nahe der approximierenden Lösung; Abschätzungen der Differenz von exakter und approximierender Lösung; Untersuchung von Stabilität und Einzugsbereich der exakten Lösung; Benutzung von a-priori-Information über den (zeitabhängigen) Ort der inneren Schichten in numerischen Verfahren. Dabei wurden sowohl monotone Iterationen (Methode der Ober- und Unterlösungen, Vergleichsprinzipien) als auch Fixpunktiterationen (Methode der kontraktiven Abbildungen, Sätze über implizite Funktionen) benutzt. Diese beiden Methoden unterscheiden sich erstaunlich stark, z.B. hinsichtlich der Fragen, auf welche konkreten Probleme sie anwendbar bzw. nicht anwendbar sind oder welche Abschätzungen der Differenz von exakter und approximierender Lösung (Abschätzung in welcher Norm und durch welche ε-Potenz, wenn ε der singuläre Störungsparameter ist) sie liefern. Es wurde gezeigt, dass die Methode der Fixpunktiterationen auch anwendbar ist, wenn mehrere singuläre Störungsparameter auftreten (wenn die Koeffizienten in den Differentialgleichungen nicht glatt vom Ort abhängen und folglich keine klassischen, sondern nur schwache Lösungen auftreten). Dabei scheint allgemein folgendes Prinzip zu gelten: Je weniger glatt die Koeffizienten in den Gleichungen vom Ort abhängen, desto langsamer strebt die Differenz von exakter und approximierender Lösung gegen Null (bei ε → 0). Dieses Phänomen war bisher nicht bekannt und wurde erstmals rigoros bewiesen für den Fall semilinearer 1D Randwertpobleme.

Publications

• (2018) Existence, Asymptotics, Stability and Region of Attraction of a Periodic Boundary Layer Solution in Case of a Double Root of the Degenerate Equation. Comput. Math. and Math. Phys. (Computational Mathematics and Mathematical Physics) 58 (12) 1989–20
  Butuzov, V. F.; Nefedov, N. N.; Recke, L.; Schneider, K. R.
  
• Analytical-numerical approach to solving singularly perturbed parabolic equations with the use of dynamic adapted meshes. Model. Anal. Inf. Sist. 23 (2016), 334–341
  D.V. Lukyanenko, V.T. Volkov, N.N. Nefedov, L. Recke, K.R. Schneider
  
• Asymptotics, stability and region of attraction of a periodic solution to a singularly perturbed parabolic problem with double root of the degenerate equation. Autom. Control Comput. Sciences 51 (2016), 248–258
  V.F. Butuzov, N.N. Nefedov, L. Recke, K.R. Schneider
  
• An implicit function theorem and applications to nonsmooth boundary layers. In: Patterns of Dynamics. Proc. Int. Conf. in honor of B. Fiedler, ed. by P. Gurevich, J. Hell, B. Sandstede, A. Scheel, Springer Proc. in Mathematics & Statistics vol. 205 (2017), 111–127
  V.F. Butuzov, N.N. Nefedov, O.E. Omel’chenko, L. Recke, K.R. Schneider
  
• Existence and stability of periodic contrast structures in the reaction-advection-diffusion problem in the case of a balanced nonlinearity. Differential Equations 53 (2017), 516–529
  N.N. Nefedov, E.I. Nikulin
  
• Time-periodic boundary layer solutions to singularly perturbed parabolic problems. J. Differential Equations 262 (2017), 4823–4862
  O.E. Omel’chenko, L. Recke, V.F. Butuzov, N.N. Nefedov, K.R. Schneider