Effiziente und robuste Algorithmen zur fertigungsgerechten Auslegung von optischen Freiformoberflächen und deren experimentelle Erprobung

• Antragsteller: Professor Dr. Wolfgang Dahmen; Professor Dr. Peter Loosen
• Fachliche Zuordnung: Optik, Quantenoptik und Physik der Atome, Moleküle und Plasmen ; Produktionssystematik, Betriebswissenschaften, Qualitätsmanagement und Fabrikplanung
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 259180742

Brechende oder reflektierende optische Bauteile, deren Oberflächen eine deutlich höhere Zahl von Freiheitsgraden gegenüber konventionellen Linsen und Reflektoren (rotationssymmetrischen oder zylindrischen Sphären oder Asphären) aufweisen, werden unter dem Begriff der Freiformoptiken zusammengefasst. Zu ihrer computergestützten Auslegung werden Algorithmen verwendet, die aus einer vorgegebenen Quell- und Ziel-Intensitätsverteilung sowie weiteren Randbedingungen Oberflächen des optischen Systems generieren. Das vorliegende Vorhaben adressiert die erstmalige, fachbereichsübergreifende Weiterentwicklung dieser Algorithmen sowohl auf mathematischer als auch auf technisch-optischer Seite, um sie einer ingenieurwissenschaftlichen Umsetzung in komplexen optischen Systemen zugänglich zu machen. Die Auslegungsalgorithmen des Stands der Technik lösen die gestellte Aufgabe selbst für eine als punktförmig angenommene Quelle unzureichend, da sie Randbedingungen der Fertigung nicht erfüllen, insbesondere Anforderungen an die Glattheit der Oberflächen, sowie keine Möglichkeit zur gleichzeitigen Auslegung mehrerer Oberflächen vorsehen. Keines der bekannten Verfahren kann bei vorgegebener Intensitätsverteilung die Ausdehnung der Lichtquelle ohne eine iterative Korrektur berücksichtigen. Die Antragsteller haben in Vorarbeiten durch rigorose Modellierung der zugrundeliegenden Fragestellung als Monge-Ampère-Gleichung ein Verfahren entwickelt, das für Punktquellen bereits glatte Oberflächen generiert und Ziel-Intensitätsverteilungen hoher Komplexität realisieren kann. Ähnlich zum optimalen Transportproblem lässt sich das Reflektorproblem als zweites Randwertproblem der Monge-Ampère-Gleichung formulieren, was aus einer stark nichtlinearen, partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zusätzlicher Randbedingung besteht. Zur numerischen Lösung werden ein Kollokationsverfahren basierend auf B-Splines und ein Finite-Differenzen-Verfahren zur wechselseitigen Validierung verwendet. Dabei werden Techniken der verschachtelten Iterationen benutzt, um die Konvergenz des nichtlinearen Lösers sicherzustellen und die Berechnungen zu beschleunigen. Anspruchsvoll ist vor allem die Randbedingung, für deren Einhaltung eine Art Picard-Iteration eingesetzt wird. Bisher sind keine weiteren Lösungsverfahren für dieses Randwertproblem bekannt. Im Rahmen des beantragten Projektes sollen diese von den Antragstellern entwickelten Freiform-Berechnungsmethoden auf die für reale Anwendungen relevanten ausgedehnten Quellen erweitert werden. Darüber hinaus sollen Verfahren erarbeitet werden, mit denen Systeme aus mehreren optischen Freiformflächen ausgelegt werden können. In Kombination sollen beliebig berandete optische Flächen, mehrere optische Flächen und ausgedehnte Lichtquellen mit den zu erarbeitenden Methoden behandelt werden können. Neben Korrektheit sind Robustheit und numerische Effizienz sowie Fertigbarkeit der gefundenen Lösungen weitere wesentliche Projektziele.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen