Elliptische Systeme höherer Ordnung mit kritischer Nichtlinearität
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Wir betrachten Systeme von Differentialgleichungen der Ordnung 2m mit einer Reihe von Strukturbedingungen auf einem 2m-dimensionalen Gebiet. Die Koeffizienten dieser Systeme müssen eine natürliche “kritische” Wachstumsbedingung erfüllen; außerdem muss die am wenigsten reguläre matrixwertige Koeffizientenfunktion ihre Werte in den schiefsymmetrischen Matrizen annehmen. Unter diesen Bedingungen kann man das Differentialgleichungssystem lokal in einen Erhaltungssatz umformulieren. Diesen benutzen wir, um die Stetigkeit schwacher Lösungen des Systems zu beweisen. Unsere Ergebnisse verallgemeinern die Resultate für m =1 von Rivière und m = 2 von Lamm und Rivière. Spezialfälle, die als Modellfälle für das betrachtete System angesehen werden können, sind die Systeme für extrinsische und intrinsische polyharmonische Abbildungen von einem 2m-dimensionalen Gebiet in eine kompakte Untermannigfaltigkeit eines Euklidischen Raums. Zusätzlich zu den Methoden, die traditionell in solch eine Regularitätstheorie eingehen (Uhlenbeck-Eichung, Hodge-Zerlegung, Hardy-BMO-Dualität, Lorentz-Räume) benutzen wir in unserem Fall Zerlegungen von Distributionen in Summen von Ableitungen von Funktionen, um Probleme mit Koeffizienten in Sobolev-Räumen negativer Differenzierbarkeitsstufe auf einfachere Probleme zurückzuführen.
