Siegel-Veech-Konstanten und Masur-Veech-Volumina: Zusammenhang zur Schnitttheorie

• Antragsteller: Professor Dr. Martin Möller
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 275218485

• Erstellungsjahr: 2025

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Siegel-Veech-Konstanten codieren die Asymptotik der Anzahl von geschlossenen Trajektorien beschränkter Länge auf einem polygonalen Billiardtisch und bilden daher eine fundamentale Invariante des dynamischen Systems ’Billard’. Durch einen Entfaltungsprozess können sie als ein Zählproblem auf einer flachen Fläche interpretiert werden, d.h. auf einer Riemannschen Fläche zusammen mit einer holomorphen Differentialform. In der Tat können Siegel-Veech-Konstanten auch durch besseres Verständnis der Geometrie des Modulraums flacher Flächen berechnet werden, genauer gesagt durch Schnittprodukte auf diesem Modulraum. Dies spiegelt die Situation für den Modulraum von Kurven, wo Schnittzahlen spätestens seit den Wittenvermutungen ein eingehend studiertes Gebiet sind. Auf dem Modulraum flacher Flächen operiert die Gruppe GL2 (R) und die Siegel-Veech-Konstanten hängen nur von dem GL2 (R)-Bahnabschluss ab. Diese Bahnabschlüsse sind sogenannte lineare Mannigfaltigkeiten, nach den fundamentalen Arbeiten von Eskin, Mirzakhani, Mohammadi. In diesem Projekt haben wir eine Vermutung bewiesen, die Siegel-Veech-Konstanten und Quotienten von Schnittzahlen auf linearen Mannigfaltigkeiten in Beziehung setzt, allerdings unter der Zusatzvoraussetzung dass die lineare Mannigfaltigkeit keine relativen Perioden hat. Diese Voraussetzung ist u.a. für die meisten der exzeptionellen linearen Mannigfaltigekeiten erfüllt, die jüngst von Eskin, McMullen, Mukamel, Wright entdeckt wurden. Wir haben darüber hinaus die Chern-Klassen des Kotangentialbündels von linearen Mannigfaltigkeiten bestimmt, und so die Grundlagen geschaffen die birationale Geometrie dieser Mannigfaltigkeiten zu untersuchen. Darüber hinaus stellt das Projekt einige Schritt zur Bestimmung der Kohomologie des Modulraums flacher Flächen bereit, insbesondere zur Bestimmung des Randstratakomplexes.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• An Algorithm to Compute the Fundamental Classes of Spin Components of Strata of Differentials. International Mathematics Research Notices, 2024(6), 4893-4962.
  Wong, Yiu Man
  
• Masur–Veech volumes and intersection theory: The principal strata of quadratic differentials. Duke Mathematical Journal, 172(9).
  Chen, Dawei; Möller, Martin & Sauvaget, Adrien
  
• Geometry of strata of differentials on Riemann surfaces, PhD thesis, Goethe Universiät Frankfurt, 2024, 144 pages.
  Y. M. Wong
  
• Linear submanifolds and strata of k-differentials : invariants and applications, PhD thesis, Goethe Universiät Frankfurt, 2024, 141 pages.
  J. Schwab
  
• Chern classes of linear submanifolds with application to spaces of k-differentials and ball quotients. Commentarii Mathematici Helvetici, 100(4), 745-809.
  Costantini, Matteo; Möller, Martin & Schwab, Johannes
  
• Rational cohomology of M4,1. Mathematische Nachrichten, 298(3), 1041-1061.
  Wong, Yiu Man & Zheng, Angelina