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FOR 2402:  Rough Paths, Stochastic Partial Differential Equations and Related Topics

Fachliche Zuordnung Mathematik
Förderung Förderung von 2016 bis 2023
Projektkennung Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 277012070
 
Seit dem Erstantrag für diese Forschungsgruppe vor drei Jahren hat sich das Zusammenspiel der Rough Paths Theorie (RPT) mit stochastischen partiellen Differentialgleichungen (SPDE) zu einem der aktivsten Forschungsgebiete zwischen Wahrscheinlichkeitstheorie und der Analysis entwickelt. In zahlreichen Anwendungen, die von der statistischen Physik und Quantenfeldtheorie bis zu den Neurowissenschaften und Finanzmarktmodellen reichen, sind die Regularitätsvoraussetzungen - auf denen die klassische Theorie der Differentialgleichungen auf die eine oder andere Weise basiert - a fortiori verletzt. Leicht nachvollziehbare Beispiele dafür sind die Dynamik eines brennenden Blatt Papiers oder die Entwicklung der Zinskurve im Markt für festverzinsliche Wertpapiere. Diese Beispiele illustrieren die intrinsische Zufälligkeit, und den daraus folgenden Bedarf nach einer statistischen Beschreibung des Systems. Es ist daher wenig überraschend, dass sich stochastische partielle Differentialgleichungen in den letzten Jahrzehnten zu einem enorm wichtigen Forschungsgebiet entwickelt haben. Ihre klassischen Grundlagen, die sich vor 30+ Jahren etabliert haben, basieren vollständig auf dem (auf Martingaltheorie basierenden) Ito-Kalkül in Hilbert-Räumen aus der stochastischen Analysis. Eine (langsame) Revolution kam durch Lyons Rough Path Theorie, die vor genau 20 Jahren für gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) formuliert wurde. Terry Lyons erkannte damals, dass Gleichungen, die aus analytischer Sicht aufgrund von Rauschtermen schlecht-gestellte Probleme darstellen, mittels eines sogenannten universellen Lifts des Rauschterms sinnvoll behandelt werden können, dessen genaue Struktur aber von der jeweiligen Gleichung abhängt. Vor weniger als 10 Jahren behandelten Gubinelli–Tindel (2010) und Caruana–Friz (2009) zum ersten Mal erfolgreich durch Rauschterme gestörte partielle Differentialgleichungen im Sinne der Rough Path Theorie. 2012 fand Hairer mittels rough path Theorie seine berühmt gewordene Lösung der KPZ-Gleichung. Bald darauf entwickelte er eine Verallgemeinerung der Rough Path Theorie zur „theory of regularity structures“, in der in einem gewissen Sinne jedes SPDE Problem seine eigene passgenaue algebraische/analytische Rough Path Struktur erzeugt. Viele weitere SPDEs, insbesondere solche aus der statistischen Physik und der Quantenfeldtheorie, konnten daraufhin - zum ersten Mal überhaupt - sinnvoll mathematisch analysiert werden. Für diese Arbeiten wurde Hairer 2014 mit der Fields Medaille ausgezeichnet. In einer dazu parallelen Entwicklung initiierten Gubinelli, Imkeller, und Perkowski den "paracontrolled approach", der es bequem ermöglicht, bereits existierende Methoden der harmonischen Analysis auf mehrere verwandte Probleme mit unendlichdimensionalen Rauschen anzuwenden. Das Ziel dieser Forschungsgruppe ist ein breites und gemeinsames Verständnisses von Rough Path Theorie, Regularity Structures, und stochastischen partiellen Differentialgleichungen.
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