Validierung der variationellen Konstruktion approximativer langsamer Mannigfaltigkeiten in Hamilton'schen Zweiskalensystemen mit starken gyroskopischen Kräften

• Antragsteller: Professor Dr. Marcel Oliver
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 278124199

Zweiskalensystem mit starken gyroskopischen Kräften kommen in verschiedenen Anwendungen vor: Großskalige Meeresströmungen oder Winde unter der Corioliskraft, geladene Teilchen in Magnetfeldern, oder auch abstrakt in der numerischen Analysis von symplektischenZeitintegratoren. Diese Systeme besitzen eine fast invariante langsame Mannigfaltigkeit, das heißt, dass ihr nahe Orbits ihr überlange Zeiten folgen. Die Dynamik auf der langsamen Mannigfaltigkeit kann über Normalformentheorie konstruiert werden, dabei bleibtinsbesondere die Hamiltonstruktur erhalten. Ist ein solches Zweiskalensystem durch eine partielle Differentialgleichung beschrieben, so führt klassische Normalformtheorie häufig zu einem "Verlust von Ableitungen" d.h. eine höhere Approximationsordnung erfordert eine entsprechend höhere Glattheit der Daten.In diesem Projekt wollen wir zeigen, dass sich dieser Effekt durch eine Konstruktion auf der Lagrange'schen Seite vermeiden lässt, indemman die symplektische Form und das Hamiltonfunktional ein einem Schritt transformiert. Als Hauptbeispiel nehmen wir den nicht-relativistischen Grenzfall der semilinearen Klein-Gordon Gleichung. Wir wollen weiterhin die Theorie so weiterentwickeln, dass man den klassischen endlichdimensionalen Ergebnissen entsprechende exponentielle Abschätzungen erhält, und schließlich wollen wir die Methode auf ähnliche Systeme übertragen.Wir erwarten, dass sich durch diese Arbeit eine neue Sichtweise auf Normalformtheorie für Hamilton'sche partielle Differentialgleichungenergibt, die sich auf eine größere Klasse von Mehrskalensystemen übertragen lässt.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen