Validierung der variationellen Konstruktion approximativer langsamer Mannigfaltigkeiten in Hamilton'schen Zweiskalensystemen mit starken gyroskopischen Kräften

• Antragsteller: Professor Dr. Marcel Oliver
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 278124199

• Erstellungsjahr: 2022

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Das Projekt hatte zum Ziel, langsame Mannigfaltigkeiten in Zweiskalensystemen mit starken gyroskopischen Kräften zu charakterisieren, sowohl für endlich als auch für unendlichdimensionale Systeme. Bei den unendlichdimensionalen Systemen diente uns die semilineare Klein-Gordongleichung im nichtrelativistischen Grenzfall als Prototyp. Im endlichdimensionalen konnten wir einige weitere Resultate zeigen, die über die vorher bekannten, im wesentlichen klassischen Resultate hinausgehen. Im Unendlichdimensionalen konnten wir neue Methoden entwicklen, um langsame Mannigfaltigkeiten zu charakterisieren und diese Konstruktion rigoros auf kurzen Zeitskalen der langsamen Dynamik beweisen. Offen blieb der Fall variationeller Konstruktionen im unendlichdimensionalen. Hier ergaben sich substantielle technische Hürden und es ist nicht klar, ob die angestrebten Resultate überhaupt erreicht werden können. Wir haben daher einen großen Teil der zweiten Projektphase dazu verwendet, adaptierte numerische Verfahren zu entwickeln, um die Eingangsvermutung experimentell zu verifizieren oder falsifizieren. Speziell angepasste Numerik ist unbedingt erforderlich, um das Verhalten im Grenzfall sinnvoll austesten zu können. Es gab in der Literatur bereits eine Reihe von Verfahren, die durchweg sehr spezifisch auf den jeweiligen Spezialfall konstruiert wurden. Hier konnten wir mit einem neuen Ansatz hinsichtlich der notwendigen hochoszillatorischen Quadratur schwierige analytische Vorabrechnungen auf ein allgemeines numerisches Problem zurückführen. Das resultierende Rechenverfahren hat das Potential, ganz allgemein dynamische Systeme mit einer bekannten schnellen Frequenz effizient zu simulieren. Das Ursprungsproblem ist damit noch nicht komplett gelöst, aber wir haben neuartige analytische wie auch numerische Werkzeuge entwickeln können, mit denen ein abschließendes Resultat greifbar ist.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Comparison of variational balance models for the rotating shallow water equations, J. Fluid Mech. 822 (2017), 689–716
  D.G. Dritschel, G.A. Gottwald, and M. Oliver
  
• Optimal balance via adiabatic invariance of approximate slow manifolds, Multiscale Model. Simul. 15 (2017), 1404–1422
  G.A. Gottwald, H. Mohamad, and M. Oliver
  
• Hs-class construction of an almost invariant slow subspace for the Klein–Gordon equation in the non-relativistic limit, J. Math. Phys., 59 (2018), 051509
  H. Mohamad and M. Oliver
  
• A direct construction of a slow manifold for a semilinear wave equation of Klein-Gordon type, J. Differential Equations 267 (2019), 1–14
  H. Mohamad and M. Oliver
  
• High-order uniformly accurate time integrators for semilinear wave equations of Klein-Gordon type in the non-relativistic limit
  H. Mohamad and M. Oliver
  
• H. Mohamad and M. Oliver, Numerical integration of functions of a rapidly rotating phase, SIAM J. Num. Anal. 59 (2021), 2310–2319
  H. Mohamad and M. Oliver
  
• Energy asymptotics for the strongly damped Klein-Gordon equation
  H. Mohamad
  
• Quasi-convergence of an implementation of optimal balance by backward-forward nudging
  G.T. Masur, H. Mohamad and M. Oliver,