Unfitted Finite-Elemente-Methoden höherer Ordnung für Probleme auf sich bewegenden Gebieten

• Antragsteller: Professor Dr. Christoph Lehrenfeld
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 319609890

Viele Anwendungen der Simulationswissenschaften, die aus der Physik, Biologie, Chemie und den Ingenieurswissenschaften stammen, erfordern eine angemessene Behandlung komplexer und sich verändernder Geometrien. In vielen Fällen erfahren diese Geometrien Topologieänderungen oder starke Verformungen, was die numerische Behandlung erschwert. Die effiziente numerische Lösung mit hoher Genauigkeit von partiellen Differentialgleichungen auf diesen bewegten Gebieten stellt eine große Herausforderung dar. Im letzten Jahrzehnt wurde dieses Forschungsfeld fokussiert. Vorallem die Entwicklung von Methoden, die eine Geometriebeschreibung verwenden, welche getrennt vom Rechengitter existiert und dadurch einen flexibleren Umgang mit der Geometrie ermöglichen als herkömmliche Diskretisierungsansätze, wurde verstärkt verfolgt. Obwohl großer Fortschritt erfolgte, bleiben wichtige Fragen offen, die weitere Forschungsarbeit erfordern. Imbesonderen fehlt es an numerischen Methoden, die die Flexibilität der separaten Geometriebeschreibung mit Verfahren höherer Genauigkeit kombinieren. Das Ziel dieses Projektes ist es diese Lücke zu füllen. Hierzu sollen Finite-Elemente-Methoden höherer Ordnung entwickelt und analysiert werden, die für die Integration mit separaten Geometriebeschreibungen geeignet sind und darüberhinaus beweisbare Fehlerschranken höherer Ordnung liefern. Dieses Vorhaben beinhaltet mehrere Schwierigkeiten. Zum Einen benötigt man zunächst die Darstellungen der Geometrie mit höherer Ordnung Genauigkeit. Hierfür wird typischerweise eine implizite Beschreibung mit einer Indikatorfunktion verwendet. Während die Geometrieerfassung mit dieser Indikatorfunktion oft gut funktioniert, besteht ein Problem in der Verwertbarkeit der nur impliziten Beschreibung der Geometrie. Für eine passende Finite Elemente Formulierung werden Integrale auf Teilgebieten geschnittener Zellen benötigt. Da diese Teilgebiete aber nur implizit beschrieben werden, ist eine genaue numerische Integration schwierig. Während es für eine Genauigkeit zweiter Ordnung robuste und etablierte Methoden gibt, erfordert die Erweiterung auf eine Genauigkeit höherer Ordnung neue Ansätze für die Diskretisierung. Ein anderes wichtiges Problem besteht in der Behandlung von Geometrieänderungen. Durch die implizite Geometriebeschreibung kann eine Geometrieänderung ohne Anpassung des Rechengitters erfolgen, jedoch stellen sich neue Herausforderungen an die Entwicklung passender Zeitschrittverfahren, die die Geometrieänderung angemessen berücksichtigen. Im Rahmen dieses Projektes werden Verfahren entwickelt, die diese Probleme lösen. Ein wichtiger Bestandteil des Projektes besteht außerdem in der rigorosen Fehleranalyse, welche Fehlerschranken optimaler Ordnung für diese Verfahren bereitstellen. Die Verfahren, die in diesem Projekt entwickelten werden, sollen aufbauend auf der Open Source C++ Software Toolbox DUNE implementiert und auch numerisch analysiert werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen