Unfitted Finite-Elemente-Methoden höherer Ordnung für Probleme auf sich bewegenden Gebieten

• Antragsteller: Professor Dr. Christoph Lehrenfeld
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 319609890

• Erstellungsjahr: 2021

Zusammenfassung der Projektergebnisse

In diesem Forschungsprojekt wurden Methoden höherer Ordnung für Probleme auf nicht-gitter-angepassten, möglicherweise bewegenden, Gebieten entwickelt und analysiert. Um Verfahren höherer Ordnung zu erhalten, ist eine genau Approximation der Geometrie essentiell. Das wiederum ist im allgemeinen keine einfache Aufgabe bei nicht-gitter-angepassten Geometrie. Oft ist die Geometrie lediglich implizit gegeben, z.B. in Form einer Levelset-Funktion, sodass keine explizite Parametrisierung bekannt ist, die zum Erzeugen von Quadraturregeln herangezogen werden kann. Um diesem Problem zu begegnen, wurde in diesem Forschungsprojekt der vergleichsweise neue Ansatz isoparametrischer unfitted Finite-Elemente-Methoden verwendet und weiterentwickelt. Es hat sich gezeigt, dass sich die Techniken, die sich für Verfahren niedriger Ordnung bewährt haben, mithilfe der isoparametrischen unfitted Finite-Elemente-Methode auch für Verfahren höherer Ordnung anwenden lassen. Dafür wurde für stationäre Probleme die Kombination mit Stabilisierungstechniken, wie der Ghost-Penalty-Methode betrachtet und analysiert. Sowohl für PDEs auf sich bewegenden Oberflächen wie auch auf sich bewegenden Gebieten, wurden zwei alternative Herangehensweisen untersucht. Die Zeitintegration mit Raum-Zeit-FEM und einen auf einer diskreten Erweiterung basierenden Ansatz, der sich mit den Kernideen der Methode der Linien kombinieren lasst. Beide Verfahren lassen sich mit isoparametrischen unfitted FEM kombinieren, um eine hohe Ordnung im Ort zu gewährleisten. Für die Raum-Zeit-Methode konnten zusätzlich Verfahren beliebig hoher Ordnung in Ort und Zeit realisiert und analysiert werden, wobei die Analyse der erweiterungsbasierten Methoden bisher auf niedrige Ordnung in der Zeit (erste und zweite Ordnung) und höhere Ordnung im Ort beschränkt ist. Der Vorteil der erweiterungsbasierten Methoden liegt in der einfacheren numerischen Realisierung und der typischerweise geringeren Anzahl an Unbekannten in jedem Zeitschritt.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• A higher order isoparametric fictitious domain mee thod for level set domains, In Stéphane P. A. Bordas, Erik Burman, Mats G. Larson, and Maxim A. Olshanskii, editors, Geometrically Unfitted Finite Element Methods and Applications, pages 65–92. Springer International Publishing, 2017
  Christoph Lehrenfeld
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/978-3-319-71431-8_3)
• A note on the penalty parameter in Nitsche’s method for unfitted boundary value problems, Computers and Mathematics with Applications, 75:4322–4336, 2018
  Frits De Prenter, Christoph Lehrenfeld, and Andre Massing
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.camwa.2018.03.032)
• A stabilized trace finite element method for partial differential equations on evolving surfaces. SIAM J. Numer. Anal., 56:1643–1672, 2018
  Christoph Lehrenfeld, Maxim A. Olshanskii, Xianmin Xu
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1137/17M1148633)
• L2-estimates for a high order unfitted finite element method for elliptic interface problems. Journal of Numerical Mathematics, 2018
  Christoph Lehrenfeld, Arnold Reusken
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1515/jnma-2017-0109)
• An Eulerian finite element method for PDEs in time-dependent domains. ESAIM: M2AN, 53:585–614, 2019
  Christoph Lehrenfeld, Maxim A. Olshanskii
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1051/m2an/2018068)
• Numerical integration on hyperrectangles in isoparametric unfitted finite elements. In European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications, pages 193–202. Springer, 2019
  Fabian Heimann, Christoph Lehrenfeld
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/978-3-319-96415-7_16)
• An unfitted Eulerian finite element method for the time-dependent Stokes problem on moving domains. IMA Journal of Numerical Analysis, 2021
  Henry von Wahl, Thomas Richter, Christoph Lehrenfeld
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1093/imanum/drab044)
• Isoparametric unfitted BDF – finite element method for PDEs on evolving domains,, 2021
  Yimin Lou, Christoph Lehrenfeld
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.2105.09162)
• ngsxfem: Add-on to ngsolve for geometrically unfitted finite element discretizations. Journal of Open Source Software, 6(64):3237, 2021
  Christoph Lehrenfeld, Fabian Heimann, Janosch Preuß, Henry von Wahl
  (Siehe online unter https://doi.org/10.21105/joss.03237)