Optimale Steuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont mit Anwendungen in der Biomedizin: Modelle, Optimalitätsbedingungen, numerische Lösungen.

• Antragstellerin: Dr. Valeriya Lykina
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 320486431

Zur Berechnung optimaler Krebstherapien werden zur Zeit mathematische Modelle mit einem festen endlichen Zeitintervall eingesetzt. Dabei wird meist versucht, die Tumorzellen so schnell wie möglich zu eliminieren, wobei die Nebenwirkungen und die Behandlungskosten minimal gehalten werden sollen (Minimierung eines Schadensfunktionals). Der Nachteil dieses Vorgehens liegt in den dennoch zu hohen Nebenwirkungen auf den gesamten Körper, u.a. Immunschwäche, unnötiger Mitabtötung gesunder Körperzellen sowie gestiegener Resistenz der verbliebenen Krebszellen. In dem beantragten Forschungsvorhaben geht es nunmehr um die Aufgaben der optimalen Steuerung mit unendlichem Zeithorizont und ihre Anwendungen auf die Modelle der Biomedizin, insbesondere die Modelle zur Berechnung optimaler Krebstherapien. Diese sollen weniger aggressive stabilisierende Langzeittherapien ermöglichen. Die wesentlichen Ziele des Vorhabens können in zwei Teile unterteilt werden. Der erste Teil beinhaltet die Untersuchungen, die in die Kategorie Grundlagenforschung fallen und als theoretische Basis für den zweiten Teil dienen. Hier sollen die notwendigen Optimalitätsbedingungen sowie ein Existenzsatz hergeleitet werden. Dabei spielt die funktionalanalytische Formulierung des Problems in gewichteten Funktionenräumen sowie der funktionalanalytische Zugang im Beweis eine Schlüsselrolle. Ebenfalls ein sehr wichtiges Ziel ist die Entwicklung einer, auf das allgemeine nichtlineare Steuerungsproblem "zugeschnittenen" numerischen Lösungsmethode, nämlich der Pseudospektralmethode. Der zweite Teil umfasst Untersuchungen, die sich auf die biomedizinischen Anwendungsaufgaben beziehen. Es gilt hier herauszufinden, welche innovativen Therapieansätze für Krebsbehandlung die betrachtete Klasse der Steuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont liefert und welche konkreten Modelle adäquat sind. Die Wahl des Performance-Kriteriums (des Zielfunktionals) in dem Steuerungsproblem eines Tumorwachstumsmodells hat einen entscheidenden Einfluss auf die optimale Lösung und folglich auf die Therapie selbst. Außer einem Schadensfunktional soll im Vorhaben alternativ die Einführung eines Stabilisierungsfunktionals, welches die Abweichung des Prozesses (des Körpers) von einem gesunden Gleichgewicht ("Tumorfrei" oder "Tumor- und Normalzellen koexistierend") des dynamischen Systems dokumentiert und dieses gleichzeitig stabilisiert, untersucht werden. Durch die Anwendung der Resultate aus dem ersten Teil sollen numerische Lösungen mittels der Pseudospektralmethode ermittelt und ihre Optimalität nachgewiesen werden. Die Anwendung der OCMat Software des aufnehmenden Instituts auf dieselben Aufgaben der Krebstherapien soll den Vergleich der Ergebnisse sowie eine qualitative Analyse der zugrunde gelegten dynamischen Systeme ermöglichen. Ein Strukturvergleich der optimalen Lösungen von den Problemen mit einem endlichen versus unendlichen Zeitintervall ist enorm wichtig im Hinblick auf die resultierenden Therapien.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Österreich
• Gastgeber: Professor Dr. Vladimir Veliov