Dynamische Objekte auf Zufallsfeldern
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Das DFG-Projekt gliedert sich in zwei Arbeitspakete. Das erste Arbeitspaket befasst sich mit funktionalen Zeitreihen und funktionalen Daten auf Zufallsfeldern. Das zweite Arbeitspaket fällt in die mathematische Grundlagenforschung der statistischen topologischen Datenanalyse. Arbeitspaket 1 - Funktionale Datenanalyse. Klassisch stehen in der funktionalen Datenanalyse Regressionsmodelle und Bootstrap Verfahren für uiv Daten und lineare Zeitreihen im Vordergrund. In diesem Arbeitspaket wird zum einen die Erweiterung auf Zufallsfelder betrachtet unter der Annahme stationärer, ergodischer Daten und eines möglichen nichtlinearen Zusammenhangs. Zum anderen wird mit dem Autoregression Bootstrap ein speziell an nichtlineare autoregressive Prozesse angepasstes Bootstrap-Verfahren untersucht. Ein etabliertes Verfahren zur Kurvenschätzung ist die funktionale Variante des Nadaraya-Watson Kernelregressionsmodels. Ein natürliches Bootstrap-Verfahren in diesem Modell ist der Naive und der Wild Bootstrap. Wenig betrachtet wurden in diesem Zusammenhang bisher räumliche Daten. Daher wurde das doppelt funktionale Kernelregressionmodell für stationäre ergodische Zufallsfelder untersucht. Es wird die asymptotische Normalität des funktionalen Kernschätzers hergeleitet. Ferner wird die Validität des Naive und Wild Bootstrap-Verfahrens gezeigt. Die Ergebnisse erweitern somit die bekannten Resultate in diesem statistischen Modell. Um Abhängigkeitsstrukturen innerhalb des Bootstrap besser fassen zu können, bietet es sich an, modellabhängige Bootstrap-Verfahren zu konstruieren. Für nichtlineare autoregressive Prozesse ist der Autoregression Bootstrap eine solche Option. Wir betrachten dieses Bootstrap-Verfahren für funktionale Zeitreihen. Arbeitspaket 2 - Topologische Datenanalyse. Die topologische Datenanalyse (TDA) ist ein aktuelles Forschungsgebiet an der Schnittstelle zwischen mathematischer Statistik, maschinellem Lernen und stochastischer Geometrie. Ziel ist es, topologische und geometrische Information aus Daten zu extrahieren. Damit ergänzt die TDA viele klassische Verfahren in der mathematischen Statistik. Ursprüngliches Ziel war es die mathematischen Eigenschaften der TDA in statistischen Anwendungen zu betrachten. Allerdings wurde im Laufe der Einarbeitungsphase sichtbar, dass relevante mathematische Eigenschaften in Teilen unvollständig geklärt waren. Somit rückte die Lösung dieser offenen Fragestellungen in den Vordergrund. In den erstellten Arbeiten wurden etliche Fragen abschließend geklärt, gleichzeitig wurden dabei auch neue Fragestellungen aufgeworfen. Von besonderem Interesse in der TDA sind die statistischen und probabilistischen Eigenschaften von topologischen Invarianten, wie (persistente) Betti-Zahlen und Euler Charakteristik. Eine wesentliche ungelöste Fragestellung zu Beginn des Projekts war, ob persistente Betti-Zahlen (im kritischen Regime) die Eigenschaft der starken Stabilisierung besitzen. Diese ist ein wesentliches Hilfsmittel zur Herleitung von Grenzwertsätzen oder Normalapproximationen. Die Eigenschaft der starken Stabilisierung taucht in vielen verwandten klassischen Graphentheoretischen Problemen auf. Wir zeigen, dass für persistente Betti-Zahlen eine erweiterte Stabilisierungseigenschaft gilt, welche die starke Stabilisierung impliziert. Insbesondere konnte mit dieser erweiterten Stabilisierungseigenschaft die asymptotische Normalität persistenter Betti-Zahlen von Poisson- und binomialverteilten Daten hergeleitet werden. Eine weitere Arbeit dieses Teilprojekts verallgemeinert die bisher für uiv Daten und stationäre Punktprozesse bekannten Ergebnisse für persistente Betti-Zahlen auf Zeitreihen und Zufallsfelder. U.a. wird in dieser Arbeit eine Exponentialungleichung hergeleitet und darauf aufbauend wird die Konvergenz der empirischen Betti-Zahl untersucht. Die dritte Arbeit entwickelt einen funktionalen Zentralen Grenzwertsatz für persistente Betti Zahlen auf Netzwerken. Dieser Satz wird dann angewendet, um einen Test zur Anpassungsgüte für Netzwerke zu konstruieren. Die vierte Arbeit betrachtet das Gesetz des Iterierten Logarithmus und Starke Invarianzprinzipien für eine gewisse Klasse von Funktionalen in der stochastischen Geometrie, wie beispielsweise die Euler Charakteristik oder Statistiken die auf dem kNN-Graphen beruhen aber auch persistente Betti Zahlen unter gewissen Einschränkungen.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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(2018). “The autoregression bootstrap for kernel estimates of smooth nonlinear functional time series.’’
Krebs, J. und Franke, J.
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(2019). “On limit theorems for persistent Betti numbers from dependent data.’’
Krebs, J.
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(2019). “The bootstrap in kernel regression for stationary ergodic data when both response and predictor are functions.’’ Journal of Multivariate Analysis, 173, 620-639
Krebs, J.
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(2020). “On the asymptotic normality of persistent Betti numbers.’’
Krebs, J. und Polonik, W.
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(2020). “On the law of the iterated logarithm and strong invariance principles in stochastic geometry.’’ Bernoulli
Krebs, J.
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(2021). “Functional central limit theorems for persistent Betti numbers on cylindrical networks.’’ Scandinavian Journal of Statistics
Krebs, J. und Hirsch, C.
