Ergodentheorie nichtlinearer Wellen in diskreten und kontinuierlichen anregbaren Medien

• Antragsteller: Professor Dr. Jens Rademacher
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 384027439

Zahlreiche räumlich ausgedehnte physikalische, chemische und biologische Systeme bilden sogenannte anregbare Medien, z.B. Nervenbahnen und Muskelgewebe. Diese werden durch nichtlineare dynamische Systeme modelliert in denen Zellen räumlich lokal gekoppelt sind, so dass Anregungen im Raum weitergeleitet werden können. In Übereinstimmung mit Beobachtungen entstehen in diese Medien sich fortbewegende Wellen, die in komplizierter Weise interagieren und reichhaltige dynamische Phänomene erzeugen. Das Projekt betrifft die mathematische Analyse und eine Raumdimension.In den vergangenen Jahrzehnten wurden anregbare Medien vorwiegend durch partielle Differentialgleichungen (PDE), wie etwa die FitzHugh-Nagumo Gleichung (FHN), modelliert. Jedoch ist eine Kontinuumsbeschreibung oft unnötig für das generelle qualitative Verhalten und eine rigorose Analyse der Welleninterkation in anregbaren Medien entzieht sich derzeitigen Methoden - bis auf wenige Ausnahmen.Zelluläre Automaten (CA) sind ein alternativer Modelltyp in dem Raum, Zeit und Zustände in einer diskreten Menge liegen. Dies kann eine enorme Vereinfachung für Modellierung, Simulation und Analyse bieten, ermangelt aber eine Herleitung aus Grundprinzipien und quantitative Genauigkeit. Doch zeigen selbst einfache CA reichhaltiges Verhalten und funktionieren als qualitative Modelle in vielen Bereichen. Greenberg und Hastings entwickelten eine Familie von CA, abgekürzt mit GHCA, die z.B. Nervenbahnen modellieren und die charakteristischen Aktionspotentiale aufweisen. GHCA haben mindestens drei Zustände, wohingegen nahezu sämtliche Analysen CA mit zwei Zuständen betreffen.Dieses Projekt verfolgt die folgenden wesentlichen Forschungsfragen:Q1: Was sind die langzeitlichen statistischen (ergodischen) Eigenschaften von CA für anregbare Medien? Was ist dabei die Rolle von nichtlinearen Wellen?Q2: Kann die Perspektive von CA und diskreten dynamischen Systemen mit Ergodentheorie zum Verständnis von komplexen Phänomenen in PDE mit starker Interaktion lokalisierter Wellen in anregbaren Medien beitragen?Vorarbeiten des Kandidaten und der PIs zeigte, dass die Dynamik und Komplexität des GHCA mit drei Zuständen vollständig auf Welleninteraktion beruht. Darüberhinaus macht das Vorhandensein von drei Zuständen diese CA der Analyse durch symbolische Dynamik zugänglich.Die Ziele dieses Projektes sind auf der einen Seite (Q1) die Analyse ergodischer Eigenschaften, der Komplexität und Wellenphänomene der GHCA und weiterer CA-Modelle. Auf der anderen Seite zielt es darauf ab diese Resultate auf bestimmte PDE zu übertragen (Q2). Diese betreffen qualitative Vergleiche zu kleinen CA mit wenigen Zuständen und quantitative Vergleiche mit großen CA aus einer vollen Diskretisierung und vielen Zuständen. Dies betrifft insbesondere eine Erweiterung des theta-Modells der Neurowissenschaften zu einer skalarer PDE bei der numerische Simulationen qualitativ die gleiche Dynamik wie der GHCA mit drei Zuständen liefert.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Mitverantwortlich: Professor Dr. Marc Keßeböhmer