Exkursionsmengen von zufälligen Feldern mit langem Gedächtnis
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Wir untersuchen Bedingungen für Kurzgedächtnis und das asymptotische Verhalten von Integralen von unendlich teilbaren Moving-Average-Zufallsfeldern mit (möglicherweise) unendlicher Varianz innerhalb wachsender Beobachtungsfenster. Zuerst beweisen wir eine hinreichende Bedingung für das Kurzgedächtnis messbarer stationärer unendlich teilbarer Moving-Average-Zufallsfelder mit d-dimensionalem Indexraum. Hier wird das Konzept der Kurz-/Langzeitabhängigkeit basierend auf der Kovarianz von Exkursionen aus dem Papier von Kulik & Spodarev (2021) übernommen. Im speziellen Fall symmetrischer stabiler Moving-Averages fällt unsere neue Bedingung mit der aus dem Papier von Makogin et al. (2021) zusammen. Zweitens zeigen wir ein Grenzverhalten von Integralen einiger zentrierter antipersistenter stationärer unendlich teilbarer Moving-Averages, wenn sich das kompakte Integrationsgebiet in d ≥ 1 Dimensionen auf den gesamten positiven Quadranten ℝ⁺ᵈ ausdehnt. Genauer gesagt ist das schwache Limit ihrer endlichdimensionalen Verteilungen wieder ein Moving-Average mit demselben unendlich teilbaren rein sprungartigen Integratormaß (d. h. ohne gaußsche Komponente), jedoch mit einer integrierten Kernfunktion. Die Ergebnisse gelten gleichermaßen für Zeitreihen (d = 1) wie auch für Zufallsfelder (d > 1). Abgesehen von der Existenz des Erwartungswertes werden keine Momentannahmen über das Moving-Average gemacht, was ihm erlaubt, eine unendliche Varianz zu haben, wie z. B. im Fall von α-stabilen Moving-Averages mit α ∈ (1, 2). Ist das Feld zusätzlich quadratisch integrierbar, so integriert sich seine Kovarianz zu null (Hyperuniformität).
