Neue Vergleichsmaße und Glattheitsbedingungen für Regularisierungsverfahren zur Lösung von inversen Problemen

• Antragsteller: Professor Dr. Bernd Hofmann
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 391100538

Regularisierungsmethoden werden entwickelt, um die Rekonstruktionsfehler bei der Lösung inverser Probleme zu begrenzen. Das grundlegende Prinzip der Regularisierung besteht darin, den Rekonstruktionsprozess auf Lösungen zu konzentrieren, welche gewisse Apriori-Informationen berücksichtigen. Dies können sein maximale und minimale Werte der gesuchten Größe, Glattheitsforderungen an die Lösung oder die Erfüllung von Erhaltungssätzen. Die gegenwärtige Regularisierungstheorie hat ihren Fokus auf Situationen, bei denen die Apriori-Informationen als Schranken konvexer Funktionale dargestellt werden. Dies hat zur Konsequenz, dass Techniken aus dem mathematischen Gebiet der konvexen Analysis genutzt werden können, um theoretische Eigenschaften der regularisierten Lösungen zu beweisen. Jüngst entwickelte und effizientere Regularisierungsmethoden lassen sich jedoch mit solchen Techniken nicht analysieren. Daraus ergibt sich nun die Forderung nach neuen Maßen mit dem Ziel der Evaluation der Effizienz der jeweiligen Methoden. Die Entwicklung solcher Maße und Bedingungen, welche die Effizienz moderner Regularisierungsmethoden garantieren, ist der zentrale Gegenstand dieses Antrags, der sich aus fünf Arbeitspaketen zusammensetzt.Im ersten zentralen Arbeitspaket liegt der Schwerpunkt auf der Verifizierung neuer Konvergenzratenresultate für die Tikhonov-Regularisierung mit nicht-konvexen Straffunktionalen. Das zweite Arbeitspaket befasst sich mit den Konsequenzen überglättender Straffunktionale bei der verallgemeinerten Tikhonov-Regularisierung in Hilbert- oder Banachräumen. Im dritten Arbeitspaket stehen Zusammenhänge zwischen Quellbedingungen und der Konvergenz von Niveaumengen im Zentrum der Betrachtung. Das vierte Arbeitspaket behandelt andererseits die Querverbindungen zwischen variationellen Quellbedingungen und bedingten Stabilitätsabschätzungen.Neue Aspekte der Lavrentiev-Regularisierung mit expliziten und impliziten Vorwärtsoperatoren stehen im Mittelpunkt des fünften und letzten Arbeitspakets.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: China, Österreich, USA
• Mitverantwortlich: Professor Dr. Otmar Scherzer
• Kooperationspartner: Professor Shuai Lu, Ph.D.; Professor Dr. Robert Plato; Professor Dr. Todd Quinto