Neue Vergleichsmaße und Glattheitsbedingungen für Regularisierungsverfahren zur Lösung von inversen Problemen

• Antragsteller: Professor Dr. Bernd Hofmann
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 391100538

• Erstellungsjahr: 2022

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Ziel dieses Projektes war die analytische und numerische Behandlung von Operatorgleichungen mit linearen und vorzugsweise nichtlinearen Vorwärtsoperatoren in Banachund Hilberträumen, welche als Modell für inkorrekte inverse Probleme dienen. Der Fokus lag dabei auf neuen Beiträgen zur modernen Regularisierungstheorie im Sinne neuer Resultate für Konvergenzraten bei verschiedenen interessanten und in der Literatur eher selten behandelten Spielarten von Regularisierungsmethoden. Eine wichtige Facette, für die zahlreiche neue Resultate gewonnen wurden, war die Behandlung von variationellen Regularisierungsmethoden mit überglättenden stabilisierenden Funktionalen. Um für Regularisierungszugänge bei inkorrekten inversen Problemen Konvergenzraten zu erhalten, müssen zusätzliche Bedingungen an die Lösung erfüllt sein, die üblicherweise Quellbedingungen genannt werden. Solche Quellbedingungen sind Charakterisierungen verschiedener Typen von Glattheit in ganz allgemeinem Sinne in Bezug auf Eigenschaften des Vorwärtsoperators und auf Eigenschaften der speziell verwendeten Banachräume. Neben den seit langem etablierten klassischen Quelldarstellungen spielen approximative Quelldarstellungen, bedingte Stabilitätsbedingungen und seit 2007 auch variationelle Quellbedingungen eine prominente Rolle. Für nichtlineare inverse Probleme müssen darüber hinaus auch strukturelle Nichtlinearitätsbedingungen in die Betrachtung einbezogen werden. Als hervorzuhebende wichtige Details der Resultate des Projekts sollten zum einen die umfangreichen analytischen und numerischen Studien zu den Wechselwirkungen von bedingten Stabilitätsabschätzungen und variationellen Quellbedingungen und zum anderen die weit über den vorherigen Kenntnisstand hinausgehenden Konvergenzund Konvergenzratenresultate für Tikhonov-regularisierte Lösungen mit überglättenden stabilisierenden Funktionalen in Hilbertskalen erwähnt werden. Der sicherlich erreichte Hauptzweck des Projekts bestand im Gewinnen von Fortschritten beim tieferen Verständnis der Rolle spezifischer Quellbedingungen und des Zusammenspiels von Lösungsglattheit und glättenden Eigenschaften des Vorwärtsoperators im Lichte von Nichtlinearitätsbedingungen für nichtlineare Probleme. Dieses tiefere Verständnis erlaubt nicht nur Mathematikern, sondern auch Praktikern aus Naturwissenschaften, Technik und Finanzwesen ein besseres Design von Modellen und Regularisierungszugängen für eine effiziente angepasste Behandlung ihrer eigenen inversen Probleme.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Case studies and a pitfall for nonlinear variational regularization under conditional stability. Chapter 9 (pp. 177–203) in: Inverse Problems and Related Topics: Shanghai, China, October 12–14, 2018 (Eds.: J. Cheng, S. Lu and M. Yamamoto). Book 310 of Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Springer Nature, Singapore 2020
  D. Gerth, B. Hofmann and C. Hofmann
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/978-981-15-1592-7_9)
• Tikhonov regularization in Hilbert scales under conditional stability assumptions. Inverse Problems, 34(11):115015, 2018
  H. Egger and B. Hofmann
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1088/1361-6420/aadef4)
• Penalty-based smoothness conditions in convex variational regularization. Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 27(2):283–300, 2019
  B. Hofmann, S. Kindermann and P. Mathé
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1515/jiip-2018-0039)
• Simultaneous identification of volatility and interest rate functions a two-parameter regularization approach. Electronic Transactions on Numerical Analysis, 51:99–117, 2019
  C. Hofmann, B. Hofmann and A. Pichler
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1553/etna_vol51s99)
• Tikhonov regularization with l^0-term complementing a convex penalty: l^1-convergence under sparsity constraints. Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 27(4):575–590, 2019
  W. Wang, S. Lu, B. Hofmann and J. Cheng
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1515/jiip-2019-0008)
• Contributions to regularization theory and practice of certain nonlinear inverse problems. PhD thesis (Dissertation), TU Chemnitz, Fakultät für Mathematik
  Christopher Hofmann
  
• Convergence results and low-order rates for nonlinear Tikhonov regularization with oversmoothing penalty term. Electronic Transactions on Numerical Analysis, 53:313–328, 2020
  B. Hofmann and R. Plato
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1553/etna_vol53s313)
• The impact of the discrepancy principle on the Tikhonov-regularized solutions with oversmoothing Penalties. Mathematics, 8(3):331, 2020
  B. Hofmann and C. Hofmann
  
• Oversmoothing Tikhonov regularization in Banach spaces. Inverse Problems, 37(8):085007, 2021
  D.-H. Chen, B. Hofmann and I. Yousept
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1088/1361-6420/abcea0)
• The Hausdorff moment problem in the light of ill-posedness of type I. Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications, 9(2):57–87, 2021
  D. Gerth, B. Hofmann, C. Hofmann and S. Kindermann
  (Siehe online unter https://doi.org/10.32523/2306-6172-2021-9-2-57-87)