Ganzheit von Stickelberger-Elementen

• Antragsteller: Professor Dr. Andreas Nickel
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 399131371

Die Klassengruppe eines Zahlkörpers ist eine seiner interessantesten arithmetischen Invarianten. Ihre Struktur zu verstehen, ist schon lange ein zentrales Thema der zahlentheoretischen Forschung. Man vermutet, das gewisse analytische Objekte auf der Klassengruppe wirken und diese annullieren, was Rückschlüsse auf ihre Struktur zulässt.Wir wollen in diesem Projekt grundlegende Eigenschaften der auftretenden analytischen Objekte untersuchen, die eine Wirkung auf die Klassengruppe erst möglich machen. Diese sogenannten Stickelberger-Elemente sollen dann in Beziehung zu p-adischen L-Reihen (gänzlich anders geartete analytische Objekte) gebracht werden. Daraus wollen wir in möglichst vielen neuen Fällen schließen, dass die Stickelberger-Elemente tatsächlich die Klassengruppe annullieren. Wenn möglich, wollen wir sogar neue Fälle der stärkeren "äquivarianten Tamagawazahlvermutung" verifizieren, die ebenfalls einen sehr engen Zusammenhang zwischen analytischen und arithmetischen Objekten beschreibt. Hierfür müssen wir das funktorielle Verhalten sowohl der Stickelberger-Elemente als auch der auftretenden algebraischen Strukturen studieren. Insbesondere das Verhalten in unendlichen Körpertürmen ist entscheidend, um Methoden aus der Iwasawa-Theorie zur Verfügung zu haben. Diese sollten es dann erlauben, die oben genannten Vermutungen in neuen Fällen zu verifizieren. Stickelberger-Elemente sind jedoch nur für total komplexe Zahlkörper interessant. Entsprechende Vermutungen für nicht notwendig total komplexe Zahlkörper zu untersuchen, wäre dann ein möglicher nächster Schritt.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen