Ganzheit von Stickelberger-Elementen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Die Klassengruppe eines Zahlkörpers ist eine seiner interessantesten arithmetischen Invarianten. Ihre Struktur zu verstehen, ist schon lange ein zentrales Thema der zahlentheoretischen Forschung. Man vermutet, das gewisse analytische Objekte auf der Klassengruppe wirken und diese annullieren, was Rückschlüsse auf ihre Struktur zulässt. Wir haben in diesem Projekt grundlegende Eigenschaften der auftretenden analytischen Objekte untersucht, die eine Wirkung auf die Klassengruppe erst möglich machen. Diese sogenannten Stickelberger-Elemente haben rationale Koeffizienten und müssen zunächst mit einer geeigneten Konstanten multipliziert werden, damit diese ganzzahlig werden. Unter Annahme des relevanten Spezialfalls der äquivarianten Tamagawazahl Vermutung haben wir bestimmt, was die best mögliche Konstante sein sollte, und dies dann in sehr vielen Fällen auch nachgewiesen (es genügt, wenn die zugrunde liegende Galoisgruppe nilpotent ist). In den selben Fällen konnten wir auch zeigen, dass die Stickelberger-Elemente nach Multiplikation mit dieser Konstanten die Klassengruppe auch tatsächlich annullieren. Analoge Aussagen konnten wir auch für höhere K-Gruppen nachweisen. Schließlich haben wir diese Elemente in Beziehung zu p-adischen L- Reihen gebracht (gänzlich anders geartete analytische Objekte), was es uns erlaubte, einen neuen interessanten Spezialfall einer Vermutung von Gross zu verifizieren, welche Werte von komplexen und p-adischen Artinschen L-Reihen bei 0 vergleicht.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Integrality of Stickelberger elements, Ph.D. thesis, Universität Duisburg-Essen, 2021
N. Ellerbrock
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Integrality of Stickelberger elements and annihilation of natural Galois modules
N. Ellerbrock and A. Nickel
