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Fluss elastischer Netzwerke

Fachliche Zuordnung Mathematik
Förderung Förderung von 2018 bis 2023
Projektkennung Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 404870139
 
Erstellungsjahr 2024

Zusammenfassung der Projektergebnisse

In der Modellierung von Mehrphasensystemen und in der Beschreibung der Evolution ihrer Grenzoberflächen treten Netzwerke und Flüsse von Netzwerken in einer natürliche Weise auf. In diesem Kontext bezeichnet das Wort Netzwerk eine Menge von Kurven, die an ihren Endpunkten zusammengeklebt sind. Jeder Knotenpunkt kann sich bewegen, so dass das gesamte Netzwerk ein besseres Energieniveau erreicht, wobei die Topologie des Systems erhalten bleiben muss. Einer der Hauptbeiträge dieses Projekts ist das Verständnis der Evolution von Netwerken, welche durch den steilsten Energieabsteig gesteuert werden und elastische Objekte beschreiben. Die Energie, die die Evolution steuert, ist die elastische Energie, die quadratisch in der Krümmung der Kurven ist. Eine Konsequenz davon ist, dass das resultierende System von Evolutionsgleichungen quasilinear und von höherer Ordnung ist. Das Novum in diesem Projekt ist in der Kombination der Betrachtung von Netzwerken mit geometrischen partiellen Differentialgleichungen höherer Ordnung. Die größten Herausforderungen sind die höhere Ordnung der Gleichungen, die Modellierung und Kontrolle der Knotenpunkte sowie die geometrische Natur des Projekts. Dank eines guten Verständnisses der Geometrie des Problems und dem Herausarbeiten vieler Informationen hieraus ist es uns gelungen, ein Wohlgestelltheitsresultat zu beweisen und hinreichende Bedingungen für die Existenz einer globalen Lösung für eine große Menge von Anfangsdaten zu finden. Unsere weiteren Untersuchungen sind motiviert durch das Studium von Netzwerken oder durch das Studium variationaler Probleme (wie Hindernisprobleme, Probleme mit Anisotropien im umgebenden Raum, usw.) und derer Evolutionsprobleme, die die elastische Energie oder Verallgemeinerungen davon involvieren. Neben einigen numerischen Betrachtungen haben wir in diesem Projekt hauptsächlich analytische Aspekte mit zwei Hauptzielen verfolgt. Die erste ist die Untersuchung des asymptotischen Verhaltens von Lösungen und die Entwicklung neuer Methoden um dieses Ziel zu erreichen (wie die Ljasiewicz-Simon Ungleichung für Probleme mit Nebenbedingungen oder die detaillierte Untersuchung von möglichen kritischen Punkten). Das zweite Ziel ist die Untersuchung von qualitativen Eigenschaften von Lösungen wie Regularität, Konvexitätserhaltung oder Vermeidung von Überschneidungen. Da die Probleme von höherer Ordnung sind, haben solche Fragenstellungen zu interessanten neuen Theorien und Resultaten geführt.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

 
 

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