Quantitative stochastische Homogenisierung: Approximation mittels periodischer RVEs in der nichtlinearen Elastizität

• Antragsteller: Professor Dr. Stefan Neukamm
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 405009441

Polykristalline Komposite, verstärkte Gummiwerkstoffe und biologische Gewebe sind Beispiele für zufällige heterogene Materialien (ZM) – Komposite deren Zusammensetzung auf kleinen Längenskalen durch statistische Informationen (z. B. zu Verteilung, Geometrie und Materialparametern) beschrieben ist. ZM entwickeln auf großen Skalen häufig neue effektive Eigenschaften. Diese können durch Veränderungen des Materials auf mikroskopischer Skala verändert und optimiert werden. Die Emergenz effektiven Verhaltens und das Wechselwirken von Prozessen auf verschiedenen Skalen in ZM zu verstehen, ist sowohl für die Grundlagenforschung als auch für Anwendungen von großer Bedeutung. Die Wissenschaft nähert sich dieser Frage experimentell, via Modellierung und Simulation und mittels analytischer Methoden der Mathematik. ZM besitzen häufig (bei statistischer Homogenität) auf großen Skalen ein nahezu deterministisches Verhalten. Diese Beobachtung erlaubt eine enorme Komplexitätsreduktion in der Modellierung und Simulation: Anstatt die mit Unsicherheit behafteten Details auf kleinen Längenskalen aufzulösen, sind deterministische, makroskopische Modelle anwendbar. Dieses Paradigma bildet die Grundlage vieler numerischer Methoden in Computational Mechanics, etwa bei RVE-basierten Methoden, die ein (a priori unbekanntes) effektives Materialgesetz durch ein repräsentatives Volumenelement (RVE) der zufällige Mikrostruktur approximieren. Obwohl RVEs vielfach verwendet werden, sind viele grundlegende analytische Eigenschaften unverstanden und Gegenstand kontroverser Diskussionen (z. B. a priori Konvergenzraten, Wahl der Größe des RVE, Randbedingungen). Die Untersuchung analytischer Eigenschaften von RVEs ist Gegenstand der quantitativen stochastischen Homogenisierung (QSH) – einem Forschungsfeld der angewandten Analysis, welches in den letzten 10 Jahren große Aufmerksamkeit erzielte. In [Gloria, Neukamm, Otto; Inventiones mathematicae 2015] gelang es erstmals ein Konvergenzresultat für periodische RVEs im stochastischen Fall zu beweisen, welches optimal bzgl. Skalierung in der Größe des RVE und der Anzahl von Monte Carlo Iterationen ist. Das Resultat und die Methodik (in Teilen) ist nur auf lineare, skalare, elliptische Probleme anwendbar. In diesem Projekt wird eine QSH-Theorie für geometrisch nichtlineare elastische Komposite mit zufälliger mikroskopischer Zusammensetzung entwickelt -- einer Materialklasse von hoher Relevanz auch für Anwendungen in der Mechanik. Insbesondere werden a priori Abschätzungen für periodische RVEs und der Einfluss von Mikrostrukturkorrelation auf die Konvergenzrate mittels analytischer Methoden untersucht. Der angestrebte Übergang von linearer QSH-Theorie zu einer nicht-konvexen Theorie ist herausfordernd und interessant: Nichtkonvexität führt auf neue Objekte, Phänomene und Schwierigkeiten, und bereits die klassische, qualitative Homogenisierungstheorie weist grundlegende Unterschiede zur linearen Theorie auf.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen