Quantitative stochastische Homogenisierung: Approximation mittels periodischer RVEs in der nichtlinearen Elastizität
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Polykristalline Werkstoffe, verstärkter Kautschuk, Schaumstoffe und biologisches Gewebe sind Beispiele für die große Klasse der zufälligheterogenen Werkstoffe, nachfolgend mit RM, wie random media abgekürzt. Diese Materialien weisen Unschärfen auf kleinen Längenskalen auf: z. B. sind die Verteilung, die Geometrie und die konstitutiven Parameter der einzelnen Komponenten eines Verbundstoffs möglicherweise nur auf statistischer Ebene bekannt. In vielen Fällen, wenn das RM statistisch homogen ist, zeigt es auf großen Längenskalen ein (fast) deterministisches physikalisches Verhalten. Dies ermöglicht eine enorme Komplexitätsreduktion bei der Modellierung und Simulation: Anstatt mikroskopische und unscharfe Eigenschaften aufzulösen, kann man ein makroskopisches und deterministisches Modell — das sogenannte homogenisierte Modell — betrachten, das ein homogenes Material beschreibt. Die Herleitung des homogenisierten Modells ist Gegenstand der Homogenisierungstheorie für partielle Differentialgleichungen und in der Variationsrechnung. Im Kontext der nichtlinearen Elastizität führt sie zu einem Variationsmodell des homogenisierten Materials, das die Form eines nichtkonvexen Integralfunktionals mit einem homogenisierten Materialgesetz annimmt. Das homogenisierte Materialgesetz ist mittels einer Homogenisierungsformel definiert, die das Lösen eines nicht-konvexen Minimierungsproblems auf einem unendlichen dimensionalen Raum erfordert. Die Homogenisierungsformel ist in der Praxis nicht berechenbar und erfordert eine Approximation. Eine bekannte Methode zur Appoximation basiert auf repräsentativen Volumenelementen (RVE) der zufälligen Mikrostruktur. Obwohl RVEs weit verbreitet sind, ist nur wenig über die Konvergenzraten bekannt. Insbesondere für nichtlineare Modelle. Darüber hinaus werden viele Fragen kontrovers diskutiert, etwa wie die Größe des RVE und Randbedingungen gewählt werden sollen. In den vergangenen Jahren konnten mittel Methoden aus dem Bereich der quantitativen stochastischen Homogenisierung wichtige Beiträge zum theoretischen Verständnis der RVE-Methode für lineare Probleme erzielt werden. Im vorliegenden Projekt haben wir die ersten optimalen, analytischen Ergebnisse bezüglich der Konvergenzraten für periodische RVEs für nichtlineare Zufallsmaterialien erhalten. Insbesondere haben wir mit J. Fischer Ergebnisse (optimal in Bezug auf die Skalierung der RVE-Größe) für gleichmüaßig elliptische, montone Systeme erhalten, und mit M. Schäffner und M. Varga haben wir optimale Konvergenzraten im nicht-konvexen Fall für nichtlinear elastische, zufällige Laminate erhalten. Diese Ergebnisse tragen zum aktuellen Erkenntnisstand im Bereich der quantitativen stochastischen Homogenisierung bei. Neben der RVE-Approximation der elastischen Energiedichtefunktion, haben wir quantitative Eigenschaften für deren Ableitungen untersucht; insbesondere, Konvergenzraten für den Gradienten der Energiedicht (dem Spannungstensor) und der Hessischen (die Tangentenmodule). Diese Größen sind in der Mechanik von besonderem Interesse. Für diese Größen konnten wir optimale Konvergenzraten der periodischen RVE-Approximation beweisen. In einer sich in Bearbeitung befindlichen Studie beweisen wir, dass die Fluktuationen der RVEs Gaußsch sind. Darüber hinaus untersuchen wir in einer numerischen Studie, die in Zusammenarbeit mit S. Haberland, O. Sander, P. Jaap und M. Varga entsteht, die Konvergenzrate für RVEs für elasto-plastische Materialien. Wir beobachten Konvergenzraten, die sich vom elastischen Fall unterscheiden und von der Ausprägung plastischer Verformungen abhängig sind. Dies analytisch zu verstehen, ist ein interessantes, offenes Problem.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Lipschitz estimates and existence of correctors for nonlinearly elastic, periodic composites subject to small strains, Calculus of Variations and Partial Differential Equations 58.2, 1-51, 2019
S. Neukamm and M. Schäffner
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Optimal homogenization rates in stochastic homogenization of nonlinear uniformly elliptic equations and systems, Archive for Rational Mechanics and Analysis 242 (1), 343-452, 2021
J. Fischer and S. Neukamm
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Quantitative stochastic homogenization of nonlinearly elastic, random laminates
S. Neukamm, M. Schäffner, and M. Varga
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Two-scale homogenization of abstract linear time-dependent PDEs, Asymptotic Analysis 125.3-4, 247-287, 2021
S. Neukamm, M. Varga, and M. Waurick
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Stochastic two-scale convergence and Young measures. Networks and Heterogeneous Media
M. Heida, S. Neukamm, and M. Varga
