Die Seelenkurve von Tori konstanter mittlerer Krümmung

• Antragsteller: Professor Dr. Martin Schmidt
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 414903103

Gegenstand der Untersuchung sind Tori konstanter mittlerer Krümmung. Eine Fläche hat konstante mittlere Krümmung, wenn sich ihre Gesamtoberfläche unter sehr kleinen (infinitesimalen) Störungen bei festgehaltenem eingeschlossenen Volumen nicht ändert. Tori sind Flächen, die im Großen und Ganzen wie die Oberfläche eines Donuts aussehen. Die Frage, ob es solche Tori konstanter mittlerer Krümmung gibt, hat die klassischen Differentialgeometer wie Heinz Hopf beschäftigt, bis Beispiele erstmals von Henry Wente 1986 konstruiert wurden. Dies führte in der geometrischen Analysis zu neuen Methoden. Sie beruhen auf einem subtilen Zusammenhang zwischen Lösungen nichtlinearer partieller Differentialgleichungen und Daten aus der algebraischen Geometrie. Dieser Zusammenhang besteht aber nur für ganz bestimmte partielle Differentialgleichungen, die man gewissen sogenannten integrablen Systemen zuordnen kann.Im Forschungsprojekt geht es um den Beweis einer Vermutung von Ulrich Pinkall. Sie besagt, dass es so viele Tori konstanter mitterer Krümmung gibt, dass man solche Tori in beliebig dünnen Schläuchen um jede geschlossene Kurve herum findet. Unser Zugang benutzt dabei auch einen solchen subtilen Zusammenhang zwischen geschlossenen Kurven und Daten aus der algebraischen Geometrie. Dabei gehört die entsprechende Differentialgleichung aber zu einem anderen integrablen System. So ergibt sich die Frage, ob der subtile Zusammenhang zwischen Lösungen von Differentialgleichungen und algebraischen Daten durch geeignete Grenzwerte solche Systemgrenzen überwinden kann.In den letzten dreißig Jahren wurde dieser subtile Zusammenhang für viele verschiedene Systeme gut verstanden. Insbesondere wurden Methoden entwickelt, um die algebraischen Daten so zu deformieren, dass die entsprechenden Lösungen im selben integrablen System bleiben. Wir möchten diese Methoden jetzt so erweitern, dass die entsprechenden Lösungen in bestimmten Grenzwerten von einem System zu einem anderen System wechseln können. Das Forschungsprojekt beschäftigt sich mit der Deformation der algebraischen Daten zum integrablen System der Flächen konstanter mittlerer Krümmung. Ein bestimmter Grenzwert sowohl der algebraischen Daten als auch der entsprechenden Lösungen führt zu den beiden Seiten des subtilen Zusammenhangs des Systems der geschlossenen Kurven.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Australien, Irland
• Kooperationspartnerinnen / Kooperationspartner: Professorin Dr. Emma Carberry; Professor Dr. Martin Kilian