Die Seelenkurve von Tori konstanter mittlerer Krümmung
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Das Hauptziel dieses Projektes war es, eine Vermutung von Ulrich Pinkall zu beweisen, die grob gesagt behauptet, dass es im dreidimensionalen euklidischen Raum genügend Tori von konstanter mittlerer Krümmung (constant mean curvature tori, cmc tori) gibt, um eine beliebige geschlossene Kurve zu approximieren. Diese Vermutung war eine Schlussfolgerung aus der Einführung neuer Methoden in der geometrischen Analysis, die durch die Entdeckung der ersten Tori konstanter mittlerer Krümmung im dreidimensionalen euklidischen Raum durch Henry Wente vor 45 Jahren angeregt wurde. Durch diese Entdeckung war die Vorstellung von Heinz Hopf, dass es überhaupt keine derartigen Tori geben würde, widerlegt worden. Diese neuen Methoden bestehen wesentlich aus einer Korrespondenz zwischen komplexen Kurven und Lösungen partieller Differentialgleichungen, vermittelt durch sogenannte integrable Systeme. Die wesentliche Innovation des vorliegenden Projekts besteht in diesem Zusammenhang in der Einführung von Deformationen, die die Grenzen zwischen verschiedenen integrablen Systemen überschreiten, hier zwischen integrablen System zu Tori konstanter mittlerer Krümmung einerseits und integrablen Systemen zu geschlossenen Kurven andererseits. Der Übergang zwischen unterschiedlichen integrablen Systemen wurde in zwei sukzessive Übergänge untergliedert. Beide Übergänge werden mit Hilfe sogenannter “blow-ups” gebildet. Dabei handelt es sich um eine moderne mathematische Konstruktion, die auf beiden Seiten der oben angesprochenen Korrespondenz, d.h. sowohl für die komplexen Kurven als auch für die Lösungen der partiellen Differentialgleichungen angewendet werden. Im Rahmen des Projekts ist es gelungen, den Übergang von den Tori konstanter mittlerer Krümmung zu den geschlossenen Kurven zu verstehen. Jedoch ist der umgekehrte Übergang noch offen, und ebenso die Konstruktion einer Folge von Tori konstanter mittlerer Krümmung, die eine gegebene geschlossene Kurve approximieren. Erfreulich ist aber, dass sich im Projekt keine Hindernisse für den Erfolg des gesamten Ansatzes herausgestellt haben.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- On closed finite gap curves in space forms II, Journal of Integrable Systems 5 (2020), xyaa002, 25 pages
S. Klein, M. Kilian
(Siehe online unter https://doi.org/10.1093/integr/xyaa002) - The blow-up limit of sequences of constant mean curvature tori with fixed spectral genus in the euclidean 3-space
E. Carberry, S. Klein, M.U. Schmidt
(Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.2110.01574) - The closure of the space of spectral curves of constant mean curvature tori in R3 with spectral genus 2
E. Carberry, M. Kilian, S. Klein, M.U. Schmidt
(Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.2110.00436)
