Development of consistent theories of functionally graded plates
Final Report Abstract
Innerhalb des Projekts „Entwicklung konsistenter Plattentheorien für Gradientenwerkstoffe" wurden zunächst konsistente Plattentheorien 2. Ordnung für homogene Platten mit isotropem und transversal-isotropem Materialverhalten hergeleitet. Durch Vergleiche mit einer analytischen Lösung der linearen dreidimensionalen Elastizitätstheorie (lineare 3D-Theorie) und einer Parameterstudie konnten diese Plattentheorien jeweils validiert werden. In einem weiteren Schritt wurden konsistente Plattentheorien beliebiger Approximationsordnungen für isotrope Materialien entwickelt und anhand der linearen 3D-Theorie bestätigt. Es wurde zudem noch ein Beweis geführt, dass sich die abgeleiteten Theorien immer auf eine Haupt- und mehrere Reduktions-PDEs reduzieren lassen. Falls eine Lösung existiert, folgt daraus, dass alle Verschiebungen berechnet werden könnten. Auf der Grundlage der konsistenten Plattentheorien beliebiger Approximationsordnungen wurden dann die entsprechenden Plattentheorien für FGMs hergeleitet. Dabei wurde der E-Modul als Funktion der Dickenkoordinate angenommen und die drei Verläufe Potenzreihenansatz, Exponentialfunktion und stückweise stetige Funktion (Laminat) untersucht. Für die Verläufe Potenzreihenansatz und Exponentialfunktion konnte bewiesen werden, dass die entsprechenden Theorien immer reduzierbar sind. Als Validierung der hergeleiteten Plattentheorien für FGMs wurde eine Parameterstudie durchgeführt. Hierbei haben wir FEM-Rechnungen von FGM-Platten unter Verwendung der linearen 3D-Theorien mit den konsistenten Plattentheorien für FGMs bis zur 4. Ordnung verglichen. Durch die Variation des E-Modul-Gradienten, des Breiten-Längen-Verhältnisses und des Breiten-Dicken-Verhältnisses ergaben sich insgesamt 150 Vergleichssätze. Es hat sich herausgestellt, dass die hergeleiteten Theorien sehr gut mit den FEM-Berechnungen übereinstimmen für kleine Gradienten. Für größere Gradienten ergaben sich höhere Abweichungen, die sich durch die Approximationen des E-Modul-Verlaufs erklären ließen. Zudem konnten wir zeigen, dass unsere Theorien deutlich genauer sind als die homogenen Theorien mit gemitteltem E-Modul und die klassische Theorie von Chi & Chung (2006). Schließlich wurde sowohl für die homogenen Theorien als auch für die FGM-Theorien das Entkopplungsverhalten von Platten und Scheiben mathematisch erfasst. Dabei hat sich für die homogenen Theorien gezeigt, dass das Materialverhalten symmetrisch zur Mittelebene der Platte sein muss, damit Platte und Scheibe voneinander entkoppelt sind. Beim Beweis für die FGM-Platten stellte sich zudem heraus, dass der Verlauf des E-Moduls symmetrisch zur Mittelfläche der Platte sein muss, damit Platte und Scheibe voneinander entkoppelt sind. Ein antisymmetrischer Verlauf hingegen führt bemerkenswerterweise bei Plattenbelastungen (Scheibenbelastungen) zu Scheibendeformationen (Plattendeformationen). Bei einem unsymmetrischen Verlauf sind letztlich Platte und Scheibe gekoppelt - unabhängig vom lokalen Materialverhalten.
Publications
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Assessment of the consistent second-order plate theory for isotropic plates from the perspective of the three-dimensional theory of elasticity. International Journal of Solids and Structures, 185-186, 257-271.
Kienzler, R. & Kashtalyan, M.
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Development of the consistent second-order plate theory for transversely isotropic plates and its analytical assessment from the three-dimensional perspective. Thin-Walled Structures, 163, 107704.
Kashtalyan, M.; Kienzler, R. & Meyer-Coors, M.
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Modularity of the displacement coefficients and complete plate theories in the framework of the consistent-approximation approach. Continuum Mechanics and Thermodynamics, 33(4), 1805-1827.
Meyer-Coors, Michael; Kienzler, Reinhold & Schneider, Patrick
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A mathematically rigorous proof on the decoupling of the plate and disc problem. Acta Mechanica, 234(6), 2331-2357.
Meyer-Coors, Michael; Kienzler, Reinhold & Schneider, Patrick
