Ringeldualität neu betrachtet

• Antragsteller: Professor Dr. Steffen Koenig
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 430932201

• Erstellungsjahr: 2023

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Quasi-erbliche Algebren und Höchstgewichtskategorien werden in Darstellungstheorie ebenso betrachtet wie in algebraischer Lietheorie, Invariantentheorie, mathematischer Physik und in anderen Gebieten. Ringeldualität ordnet einer gegebenen quasi-erblichen Algebra eine andere zu und macht aus Moduln mit Standardfiltrierungen solche mit Kostandardfiltrierungen. Kategorien von Moduln mit (Ko)Standardfiltrierungen sind Darstellungskategorien von Bocsen, In diesem Zusammenhang kann Ringeldualität als Burt-Butler Dualität interpretiert werden. Dabei entspricht die bocs, als Koring betrachtet, einer Ringerweiterung bestehend aus der quasi-erblichen Algebra und einer regulären exakten Borel-Teilalgebra - in Analogie zum klassischen Satz von Poincaré, Birkhoff und Witt für Lie-Algebren. Die beiden Algebren und die Inklusion B ⊂ A zu bestimmen und zu beschreiben ist schwierig. Ringeldualität und Ringelselbstdualität zu beschreiben ist ebenfalls schwierig. Ein Hauptergebnis in diesem Arbeitsgebiet ist ein Artikel Teresa Condes, in dem die Eindeutigkeit der Algebra A gezeigt wird und A und B durch einen Algorithmus beschrieben werden, der nur elementare Daten der quasi-erblichen Struktur verwendet. Für eine vorgegebene Algebra A entscheidet der Algorithmus, ob die Algebra eine reguläre exakte Borel-Teilalgebra B besitzt und ob auch alle Morita-äquivalenten Algebren diese Eigenschaft haben. Darauf aufbauend konnten wir charakterisieren, wann eine exakte Borel-Teilalgebra einer in ihrer Morita-Äquivalenzklasse minimalen Algebra sogar regulär ist. Gezeigt wurde auch, dass die beiden kanonischen Operationen für quasi-erbliche Algebren - der Übergang zu guten Quotienten oder zu guten Zentralisatoralgebren - die für die Theorie grundlegenden A∞ -Operationen erhalten (gemeinsame Arbeit von Teresa Conde und Julian Külshammer). Bocsen sind Koringe. Eine technisch wichtige Eigenschaft, Normalität, ist wie Teresa Conde gezeigt hat, automatisch erfüllt bei den Bocsen, die im Projekt betrachtet wurden. Klassifiziert werden konnten die Koringe, die als solche selbstdual sind; dies sind genau die Frobenius-Koringe, die den Frobenius-Ringerweiterungen entsprechen. Aus dem Projekt ist ein umfangreiches weiterführendes Projekt entstanden, das die jetzt vorhandenen Werkzeuge wie Bocsen, Koringe und A∞-Strukturen ergänzen soll durch weitere algebraische Strukturen, um damit auch andere exakte Kategorien zu beschreiben als die Moduln mit Standardfiltrierung.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• From quasi‐hereditary algebras with exact Borel subalgebras to directed bocses. Bulletin of the London Mathematical Society, 52(2), 367-378.
  Brzeziński, Tomasz; Koenig, Steffen & Külshammer, Julian
  
• All exact Borel subalgebras and all directed bocses are normal. Journal of Algebra, 579, 106-113.
  Conde, Teresa
  
• All quasihereditary algebras with a regular exact Borel subalgebra. Advances in Mathematics, 384, 107751.
  Conde, Teresa
  
• Dominant and global dimension of blocks of quantised Schur algebras. Mathematische Zeitschrift, 300(1), 463-473.
  Fang, Ming; Hu, Wei & Koenig, Steffen
  
• On derived equivalences and homological dimensions. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 2021(770), 59-85.
  Fang, Ming; Hu, Wei & Koenig, Steffen
  
• A functorial approach to rank functions on triangulated categories. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 0(0).
  Conde, Teresa; Gorsky, Mikhail; Marks, Frederik & Zvonareva, Alexandra