Transportgleichungen, Mischen und Fluiddynamik
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Dieses Forschungsprojekt war im Hinblick auf seine Hauptziele sehr erfolgreich und eröffnet neue Perspektiven und Ansätze für die zukünftige Forschung. Der Schwerpunkt liegt auf der Analyse linearer Advektions-Diffusions-Gleichungen im Falle von Geschwindigkeitsfeldern geringer Regularität, wie sie für die turbulente Fluiddynamik von Bedeutung sind und Gegenstand großer Forschungsaktivitäten der letzten Jahre waren. Das erste Ergebnis des Forschungsprojekts ist eine optimale Stabilitätsabschätzung, welche die Differenz zweier Lösungen durch die Differenzen der jeweiligen Geschwindigkeitsfelder, Diffusionskoeffizienten und Anfangsdaten kontrolliert. Als direkte Anwendung erhält man ein neues Eindeutigkeitsresultat für die Advektions-Diffusions-Gleichungen mit Geschwindigkeitsfeldern, deren Vortizität gerade integrierbar ist. Als Metrik für die Abschätzungen dienen Kantorovich-Rubinstein-Distanzen mit logarithmischer Kostenfunktion. Die Stabilitätsschätzungen sind von entscheidender Bedeutung bei der quantitativen Analyse numerischer Diskretisierungen für die Advektions-Diffusions-Gleichung. Sie werden im zweiten Hauptergebnis des Forschungsprojekts ausgenutzt, das aus optimalen Abschätzungen des numerischen Fehlers von Finite-Volumen-Methoden besteht und so optimale Konvergenzraten für das Diskretisierungsverfahren liefert. Eine in gewissem Sinne duale Forschungsrichtung untersucht die optimale Regularität, die durch Advektions- und Advektions-Diffusions-Gleichungen propagiert wird. In diesem Projekt wird die Regularität mithilfe der Littlewood-Paley-Theorie untersucht. Es werden optimale Abschätzungen etabliert, die eine Kontrolle von Ableitungen logarithmischer Ordnung beinhaltet. Das Neue an den Abschätzungen ist die Gleichmäßigkeit in der Diffusivitätskonstante. Die neuen Ergebnisse können verwendet werden, um präzise Abschätzungen an Mischungsraten, verbesserte Dissipationsraten und Konvergenzraten im Limes verschwindender Diffusivität herzuleiten. Ein viertes Problem, das in diesem Projekt behandelt wurde, war die geometrische Ergodizität passiver Skalare, die durch zufällige Wirbel angetrieben werden. Das Problem wurde mithilfe der Hypokoerzivitätsmethode von Villani angegangen, wobei mit Hilfe iterierter Kommutatoren ein Lyapunov-Funktional für die Dynamik konstruiert wurde. Das neue Ergebnis liefert exponentielle Abfallraten für den Erwartungswert der Lösung der zugehörigen linearen Advektions-Gleichung mit zufällig variierendem Geschwindigkeitsfeld. Der neue Ansatz hat potenzielle Anwendungen in der Theorie von Mischungen passiver Skalare.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Optimal stability estimates and a new uniqueness result for advection-diffusion equations. Pure and Applied Analysis, 4(3), 571-596.
Navarro-Fernández, Víctor; Schlichting, André & Seis, Christian
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Error estimates for a finite volume scheme for advection–diffusion equations with rough coefficients. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 57(4), 2131-2158.
Navarro-Fernández, Víctor & Schlichting, André
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Stability results for advection-diffusion equations with deterministic and random vector fields. Dissertation thesis, Universität Münster, 2023
Víctor Navarro Fernández
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Propagation of regularity for transport equations: a Littlewood-Paley approach. Indiana University Mathematics Journal, 73(2), 445-473.
Meyer, David & Seis, Christian
