Detailseite
Projekt
Regularität und Skalierung von wilden Mikrostrukturen in der Modellierung von Formgedächtnismaterialien
Antragstellerin
Professorin Dr. Angkana Rüland
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung seit 2020
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 441068247
Die mathematische Modellierung von Formgedächtnismaterialien bildet ein prototypisches variationelles, stark nichtkonvexes Problem aus den Ingenieurwissenschaften, in dem eine überraschende Dichotomie zwischen Rigidität und Flexibilität auftritt. Einerseits sind mathematische Modelle vieler Formgedächtnismaterialien bei vergleichsweise hoher Regularität sehr rigide: Die Lösungen befolgen die kinematischen Kompatibilitätsbedingungen, was experimentell z.B. in recht regulären Mikrostrukturen, wie den ‚Twin’ und ‚Crossing-Twin’ Strukturen, beobachtet wird. Andererseits weisen viele mathematische Modelle für Formgedächtnismetalle bei niedriger Regularität eine Vielzahl von extrem uneindeutigen, typischerweise sehr komplexen und irregulären, so-genannten ‚wilden’ Lösungen auf. In der ersten Förderphase des SPP konnten wichtige Einsichten zu dieser Dichotomie erzielt werden, indem z.B. für das Tartar Quadrat scharfe Skalierungsresultate bewiesen wurden. Damit konnten die ersten Skalierungsresultate überhaupt für ein Regime, in dem eine (schwache) Dichotomie zwischen Rigidität und Flexibilität auftritt, gewonnen werden. Darauf aufbauend entwickelten wir, indem wir variationelle Perspektiven und Ideen aus der harmonischen Analysis kombinierten, ein robustes, reichhaltiges Instrumentarium, das uns z.B. erlaubte, auch bei Problemen mit einem recht hohen Grad an Flexibilität (im Sinne höherer Laminierungsordnungen) scharfe Nukleationsbarrieren zu bestimmen. Ziel dieses Projekts ist, für sorgfältig ausgewählte Modellprobleme Skalierungsresultate in Regimen herzuleiten, die wesentlich über die Situation des Regimes der schwachen Dichotomie hinausgehen und eine starke Dichotomie zwischen Rigidität und Flexibilität aufweisen. Des Weiteren planen wir insbesondere physikalische Modellprobleme, die Eichinvarianzen (in der Form von geometrisch linearer oder nichtlinearer Invarianz unter Koordinatenwechseln) aufweisen, zu analysieren und so zu Vorhersagen über die Verteilung von Längenskalen in Experimenten zu gelangen. Schließlich beabsichtigen wir, die detaillierteren Eigenschaften von Minimierern und minimierenden Folgen in Skalierungsgesetzen mit höheren Laminierungsordnungen zu untersuchen, um so Vergleiche mit experimentellen Ergebnissen zu komplexen Mikrostrukturen zu ermöglichen.
DFG-Verfahren
Schwerpunktprogramme
