Van Est integration in höherer Lie Theorie
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Lie-Algebroide und ihre höheren Versionen die Lie-n-Algebroide sind differenzial-graduierte Mannigfaltigkeiten, die infinitesimale Symmetrien beschreiben. Die Integration dieser Strukturen zu Strukturen die globale Symmetrien beschreiben – genauer zu Lie-Gruppoiden und Lie-n- Gruppoiden – ist ein Problem das in den letzten Jahrzehnten viele MathematikerInnen interessiert hat. Crainic und Fernandes entwickelten um das Jahr 2000 eine Weg-Integration für Lie-Algebroide. Diese elegante Methode ist jedoch analytisch sehr anspruchsvoll. Seit ihrer Entdeckung wurde die adjungierte Darstellung (bis auf Homotopie) eines Lie-Algebroiden eingeführt, reichlich studiert und in vieler Hinsicht verstanden. Deswegen schlug dieses Projekt vor, das Integrationsproblem mit einer neuen Inspirationsquelle anzugehen, nämlich Van Est’s algebraischer Methode der Integration von Lie-Algebren. Van Ests Theorie ist die Ableitung von Lie-Gruppen-Kozyklen zu Lie-Algebra-Kozyklen. Dies wird im Kontext von Lie-Gruppoiden und Lie-Algebroiden verallgemeinert. Nach den Ergebnissen zur Differenzierung eines Lie n-Groupoids zu seinem Tangentialkomplex sehen wir eine Möglichkeit, die Van-Est-Theorie auf höhere Lie-Groupoide zu verallgemeinern. E. Getzler beschrieb eine Eilenberg-Zilber Formel, die geshiftete Differential-2-Formen auf höheren Lie-Gruppen als eine bestimmte Paarung auf ihrem Tangentialkomplex übersetzt. Wir stellten fest, dass eine solche Eilenberg-Zilber-Formel eine Van-Est-Theorie für simpliziale Vektorräume gibt. Diese leitet eine Paarung von simplizialen Vektorräumen zu einer Paarung ihrer entsprechenden Tangentialkomplexen ab, die einfach Vektorraumkomplexe sind. Obwohl der Dualraum eines Vektorraumkomplexes leicht zu definieren ist, ist nicht klar, wie man ein sinnvolles Dual für einen simplizialen Vektorraum definiert. Geführt durch Getzler’s Korrespondenz von Paarungen haben wir jedoch ein schönes Konzept von Dual für simpliziale Vektorräume gefunden. Dies führt insbesondere zu einem 2-Dualen eines VB-Lie 2-Algebroids.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Differentiating L8 groupoids – Part I: Du Li, Leonid Ryvkin, Arne Wessel, Chenchang Zhu
Du Li, Leonid Ryvkin, Arne Wessel & Chenchang Zhu
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The Controlling L8-Algebra, Cohomology and Homotopy of Embedding Tensors and Lie–Leibniz Triples. Communications in Mathematical Physics, 386(1), 269-304.
Sheng, Yunhe; Tang, Rong & Zhu, Chenchang
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Hamiltonian Lie algebroids over Poisson manifolds. Journal of Symplectic Geometry, 22(4), 695-733.
Blohmann, Christian; Ronchi, Stefano & Weinstein, Alan
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Lie theory and cohomology of relative Rota–Baxter operators. Journal of the London Mathematical Society, 109(2).
Jiang, Jun; Sheng, Yunhe & Zhu, Chenchang
