Fundamentalgruppe und Divisorenklassengruppe: Endlichkeit und Zusammenspiel

• Antragsteller: Dr. Lukas Braun
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 452847893

• Erstellungsjahr: 2024

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Dieses Projekt im Walter-Benjamin-Programm zielte darauf ab, zwei wichtige Invarianten von Va­ rietäten mit klt-Singularitäten zu untersuchen, nämlich: 1. Die Fundamentalgruppe. 2. Die Divisorenklassengruppe bzw. den Cox-Ring. Dazu war das erste Ziel, Cox-Ringe für lokale Ringe von klt-Singularitäten zu definieren. Wir haben nicht nur Cox-Ringe für verschiedene lokale Modelle wie z.B. den Zariski-lokalen Ring und seine Henselisierung sowie seine Vervollständigung definiert, sondern auch die Iteration von Cox­Ringen in diesem lokalen Setting eingeführt und ihre Endlichkeit bewiesen. Das Zusammenspiel der Fundamentalgruppe (deren Endlichkeit gezeigt wurde) und der Iteration von Cox-Ringen führt zur Existenz eines simply connected factorial canonical (scfc) cover, die ebenfalls bewiesen wurde. Wir haben diese Untersuchung gemeinsam mit Joaquın Moraga von der lokalen auf die globale Ebene übertragen. In diesem Zusammenhang tritt die Gruppe der Weil-modulo-Cartier-Divisoren an die Stelle der lokalen Klassengruppe. Wir beweisen, dass diese Gruppe für projektive klt-Varietäten ebenfalls endlich ist. Es gelten jedoch nicht alle guten Eigenschaften auch im globalen Fall, z.B. die Existenz des scfc covers. Eine unvorhergesehene wichtige Anwendung dieser Untersuchungen ist die klt-Eigenschaft von reduktiven Quotienten, die zusammen mit Daniel Greb, Kevin Langlois und Joaquin Moraga gezeigt wurde. Dies verallgemeinert Boutots berühmte Arbeit über die Rationalität von reduktiven Quotienten. Zu den Anwendungen gehören die klt-Eigenschaft von Artin-Stacks, Modulräumen von K-polystabilen Fano-Mannigfaltigkeiten, 'Collapsings' von homogenen Bündeln, bestimmten symplektische Quotienten von Kähler-Mannigfaltigkeiten und die Tatsache, dass reduktive Quotienten von Varietäten vom Fano-Typ wieder vom Fano-Typ sind. Im zweiten Teil des Projekts konzentrierte sich die Untersuchung auf die Fundamentalgruppen von klt-Varietäten, insbesondere mit trivialem oder nef antikanonischem Divisor. Dies machte einerseits die Untersuchung von orbifold- und entarteten Kähler-Metriken notwendig, um die Fundamentalgruppe zu untersuchen, was ein Ansatz ist, der im Fall der Mannigfaltigkeiten funktioniert. Erste Ergebnisse in dieser Richtung sind veröffentlicht worden. Andererseits konnten wir zusammen mit Fernando Figueroa erste Ergebnisse in niedrigen Dimensionen (<3) mit den bekannten Methoden beweisen. In dieser Arbeit untersuchen wir auch die Beziehung zwischen der Fundamentalgruppe und einer bestimmten Invariante, der Koregularität, und stützen uns dabei genau auf diese niedrigdimensionalen Ergebnisse.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• ODD Metrics.
  L. Braun
  
• The Jordan property for local fundamental groups. Geometry & Topology, 26(1), 283-319.
  Braun, Lukas; Filipazzi, Stefano; Moraga, Joaquín & Svaldi, Roberto
  
• Komplexe Analysis – Differential and Algebraic methods in Kähler spaces. Oberwolfach Reports, 20(2), 965-1030.
  Eyssidieux, Philippe; Hwang, Jun-Muk; Kebekus, Stefan & Păun, Mihai
  
• Orbifold Kähler–Einstein metrics on projective toric varieties. Bulletin of the London Mathematical Society, 55(6), 2743-2748.
  Braun, Lukas
  
• Fundamental groups, coregularity, and low dimensional klt Calabi-Yau pairs.
  L. Braun & F. Figueroa
  
• Iteration of Cox rings of klt singularities. Journal of Topology, 17(1).
  Braun, Lukas & Moraga, Joaquín
  
• Reductive covers of klt varieties. Revista Matemática Iberoamericana, 40(5), 1701-1730.
  Braun, Lukas & Moraga, Joaquín
  
• Reductive quotients of klt singularities. Inventiones mathematicae, 237(3), 1643-1682.
  Braun, Lukas; Greb, Daniel; Langlois, Kevin & Moraga, Joaquín