Strukturerhaltende tiefe neuronale Netze zur Beschleunigung der Lösung der Boltzmanngleichung

• Antragsteller: Professor Dr. Martin Frank; Professor Dr. Sebastian Krumscheid
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 464075789

Unser Ziel ist es zu zeigen, dass der gemeinsame Einsatz von tiefen neuronalen Netzen und klassischen numerischen Methoden möglich und vorteilhaft für die Lösung von PDEs ist. Wir werden dies am Beispiel der Boltzmann-Gleichung demonstrieren, die ein anspruchsvolles Anwendungsproblem darstellt, das einerseits eine komplizierte analytische Struktur aufweist, die mit numerischen Methoden erhalten werden sollte, und dessen Lösung andererseits selbst auf den größten heutigen Supercomputern noch unerreichbar ist. In diesem zweiten Teil des Projekts konzentrieren wir uns im Detail auf die Ersetzung des Kollisionsoperators durch ein tiefes neuronales Netz. Wir verwenden ein DeepONet zur Approximation des nichtlinearen Integraloperators. Die Herausforderungen bestehen darin, die Erhaltungseigenschaften und die Entropiedissipation numerisch sicherzustellen. Die Erhaltung wird durch die Erweiterung der Basis im DeepONet erreicht, die im Trunk Net kodiert ist. Die Entropiedissipation wird durch eine neue Interpretation der Boltzmann-Gleichung als Gradientenfluss und durch die Annäherung des symmetrischen positiv-definiten metrischen Tensors, der mit dem Gradientenfluss verbunden ist, sichergestellt. Wir validieren unsere Methoden in realistischen Testfällen und stellen den gesamten Quellcode zur Verfügung.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2298: Theoretische Grundlagen von Deep Learning