Deep Learning für nicht-lokale partielle Differentialgleichungen

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Professor Dr. Arnulf Jentzen; Professorin Dr. Gitta Kutyniok, seit 10/2022
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 464123384

Partielle Differentialgleichungen (PDEs) gehören zu den allgegenwärtigen Instrumenten um Probleme aus Natur, Technik und von Menschen geschaffenen Systemen zu beschreiben. Insbesondere tauchen PDEs auf in der Bewertung und Absicherung von Finanzderivaten oder in der Modellierung von Biodiversität um ein besseres Verständnis von Ökosystemen unter Klimaveränderungen zu gewinnen. Die PDEs, die in den oben genannten Anwendungen auftreten, sind häufig nicht-lokale nicht-lineare hoch-dimensionale PDEs, wobei die Dimension der PDE z.B. im Falle der Bewertung von Derivaten gerade der Anzahl der Basiswerte entspricht (z.B. Aktien, Rohstoffe, Währungen) und im Falle von Biodiversitätsmodellen die Dimension grob gesprochen der Anzahl der Merkmale der Individuen im betrachteten Ökosystem entspricht. Realistische PDE-basierte Modelle in diesen Anwendungsbereichen sind oft nicht-lokal aufgrund des möglichen Sprungverhaltens der Preise der Basiswerte im Falle von Finanzderivaten und im Falle von Biodiversitätsmodellen aufgrund der Tatsache, dass jedes Individuum sich in Konkurrenz mit Individuen mit allen möglichen Merkmalen befindet. Es ist fast immer unmöglich nicht-lokale nicht-lineare PDEs explizit zu lösen und es gibt auch bis heute keine numerische Methode, mit der man diese hoch-dimensionalen PDEs effizient lösen kann. Der Hauptbeitrag dieses Projekts besteht darin, dass Deep Learning (DL)-basierte Methoden vorgeschlagen und untersucht werden, die zur approximativen Lösung solcher PDEs eingesetzt werden können. Das Projekt wird die gesamte Bandbreite von numerischen Simulationen in den konkreten oben genannten Anwendungen bis zu rigorosen mathematischen Konvergenzresultaten abdecken. Insbesondere wird rigoros bewiesen, dass die tiefen neuralen Netze in den vorgeschlagenen DL Algorithmen tatsächlich die grundlegende Fähigkeit haben den Fluch der Dimension zu überwinden in der numerischen Approximation solcher nicht-lokalen nicht-linearen PDEs im Sinne, dass die Anzahl der Parameter in den neuralen Netzen höchstens polynomial wächst sowohl im Reziproken der vorgeschriebenen Approximationsgenauigkeit und der Dimension der PDE. Wir beabsichtigen auch eine vollständige Fehleranalyse für den vorgeschlagenen DL Algorithmus durchzuführen und damit Konvergenz für den Approximations-, den Generalisierungs- und den Optimierungsfehler sicherzustellen, was insbesondere auch Konvergenz des vorgeschlagenen Algorithmus beweist. In bestimmten Situation erlauben die neu entwickelten Methoden auch vollständig Dimensions-unabhängige Konvergenzraten herzuleiten und damit zu beweisen, dass DL Algorithmen in der Lage sind, den Fluch der Dimension bei der approximativen Lösung dieser PDEs zu überwinden. Wir erwarten, dass die Techniken zur Fehleranalyse, die in diesem Projekt entwickelt werden, auch für die mathematische Fehleranalyse von allgemeineren DL-basierten Algorithmen für andere Probleme, weit über PDE-Probleme hinaus, relevant sein werden.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2298: Theoretische Grundlagen von Deep Learning
• Ehemaliger Antragsteller: Professor Dr. Lukas Gonon, bis 9/2022