Gewichteter Halbgruppen-Zugang für Fokker-Planck-Kolmogorov-Gleichungen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Das zentrale Ziel dieses Projektes, das an der Scuola Normale Superiore Pisa in der Gruppe von Prof. Franco Flandoli durchgeführt wurde, bestand darin ein neues Existenz- Resultat für eine Klasse nichtlinearer Fokker–Planck–Kolmogorov Gleichungen (FPKG) zu beweisen. Dies sind parabolische partielle Differentialgleichungen (PDG) zweiter Ordnung für Maße. Im Gegensatz zu vorherigen verwandten Resultaten enthält die in diesem Projekt untersuchte Klasse Gleichungen mit einem unbeschränkten Term erster Ordnung, welche zuvor nicht mit Standardmethoden behandelt werden konnten. Diese Gleichungen beschreiben die Verteilung von zufälligen Prozessen, die als Model für verallgemeinerte gestorte nichtlineare Ornstein–Uhlenbeck-Prozesse dienen. Es ist davon auszugehen, dass diese neue Klasse von Prozessen (wie etwa der Spezialfall der vielfach studierten klassischen Ornstein–Uhlenbeck-Gleichung) als Modell für vielfältige Phänomene mit Rückkehrtendenz zu einem Gleichgewichtswert in der Biologie, der Physik, der Finanzmathematik und anderen Wissenschaften relevant wird. Die Methode, die in diesem Projekt zum Existenz-Beweis für diese Klasse von PDGen führt, ist, den bekannten Crandall–Liggett-Ansatz für nichtlineare Halbgruppen in gewichteten 1 -Räumen anzuwenden. Dafür wählt man das Gewicht als die Dichte eines symmetrisieren-Lden Maßes bzgl. des PDG-Operators. Dadurch ist es gelungen Lösungen für beschränkte Anfangsdichten zu konstruieren. Als zweites Projektresultat wurde eine enge Verbindung der PDG-Lösungen zu stochastischen Prozessen hergestellt, die eine zugehörige verteilungsabhängige stochastische Differentialgleichung (VSDG) lösen. Solche Prozesse modellieren zufällige Evolutionen in der Zeit, die sowohl einem deterministischen Richtungsvektorfeld als auch einem zufälligen Diffusionsterm (”Rauschen”) unterliegen, wobei der Diffusionsterm näherungsweise als unabhängige normalverteilte Zeitinkremente interpretiert werden kann. ”Verteilungsabhängig” bedeutet, dass beide Terme nicht nur vom aktuellen Zustand der Evolution des einzelnen Pfades abhängen, sondern auch von der aktuellen Verteilung über alle Pfade hinweg. Genauer gesagt wurden in diesem Projekt VSDG-Lösungen konstruiert, deren Verteilung zu jeder Zeit t gleich der (maßwertigen) Lösung der zugehörigen FPKG zur Zeit t ist. Dadurch lassen sich Eigenschaften der FPKG-Lösung in Eigenschaften der VSDG-Lösung übersetzen, und umgekehrt. Für die spezielle Klasse von Gleichungen, die in diesem Projekt behandelt wurden, ist dieser Zusammenhang neu. Schließlich wurde bewiesen, dass diese VSDG-Lösungen eine sehr natürliche Eigenschaft erfüllen, nämlich eine verallgemeinerte ”nichtlineare” Markov-Eigenschaft. Der Kern von Prozessen mit dieser Eigenschaft ist, dass ihre zukünftige Entwicklung nur von ihrem aktuellen Zustand und ihrer aktuellen Verteilung, nicht aber von ihrer Vergangenheit abhängt. Mittels dieses neuen Resultats kann die hier betrachtete Klasse von stochastischen Prozessen in zukünftigen Arbeiten mithilfe der äußerst reichhaltigen Techniken für Markov Prozesse untersucht werden.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Weighted L1 -semigroup approach for nonlinear Fokker–Planck equations and generalized Ornstein–Uhlenbeck processes.
M. Rehmeier
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Average Dissipation for Stochastic Transport Equations with Lévy Noise. Mathematics of Planet Earth, 45-59. Springer Nature Switzerland.
Flandoli, Franco; Papini, Andrea & Rehmeier, Marco
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Remarks on Regularization by Noise, Convex Integration and Spontaneous Stochasticity. Milan Journal of Mathematics, 92(2), 349-370.
Flandoli, Franco & Rehmeier, Marco
