Geodätische Kurven und Invarianten Riemannscher Mannigfaltigkeiten
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Im beschriebenen Projekt sollte der Zusammenhang zwischen dem globalen Verhalten geodätischer Kurven und topologischen oder geometrischen Invarianten von glatten Mannigfaltigkeiten untersucht werden, insbesondere in den Themenbereichen der String-Topologie und der topologischen und geodätischen Komplexität. In gemeinsamer Arbeit mit Philippe Kupper wurde das Verhalten der sogenannten Schnitt-Multiplizität auf Schleifenräumen untersucht und die Zusammenhänge der Schnitt-Multiplizität zum Koprodukt in der String-Topologie. Insbesondere kann man zeigen, dass das Koprodukt auf dem basierten Schleifenraum einer geschlossenen Mannigfaltigkeit trivial ist, wenn diese Mannigfaltigkeit der Totalraum eines Faserbündels mit Schnitt ist. Zudem zeigen wir mit einem einfachen Argument, dass das Koprodukt auf dem freien Schleifenraum einer Produkt-Mannigfaltigkeit trivial ist, falls beide Faktoren verschwindende Euler-Charakteristik haben. An diese Beobachtung anschließend wurde mit Nathalie Wahl allgemein das Verhalten des Koprodukts auf Produkt-Mannigfaltigkeiten untersucht. Es stellt sich heraus, dass das Verhalten des String-Topologie-Koproduktes auf Produkt-Mannigfaltigkeiten mit der sogenannten Sullivan-Frobenius-Relation zusammenhängt, die zwar im Allgemeinen nicht gilt, die sich aber im Fall von Produkt-Mannigfaltigkeiten anwenden lässt. Zudem wurde in gemeinsamer Arbeit mit Stephan Mescher die Beziehung von topologischer Komplexität zu kritischen Punkten auf einer Banach-Mannigfaltigkeit untersucht. Wir zeigen Ungleichungen zwischen den sequenziellen topologischen Komplexitäten sowie den parametrisierten sequenziellen topologischen Komplexitäten eines Raumes bzw. einer Faserung und der Anzahl der kritischen Punkte einer Funktion auf diesem Raum. Insbesondere sind die Resultate so allgemein formuliert, dass sie sich hoffentlich in Zukunft auf Variationsprobleme anwenden lassen, wie z.B. auf das Energiefunktional auf dem freien Schleifenraum, dessen kritische Punkte die geschlossenen Geodätischen sind.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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”Approaches to critical point theory via sequential and parametrized topological complexity”.
Stephan Mescher & Maximilian Stegemeyer
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”Intersection Multiplicity in Loop Spaces”. To appear in: Springer Tohoku Series in Mathematics, 2025.
Philippe Kupper & Maximilian Stegemeyer
