Verteilung von Nullstellen, Extremalpunkten und Oszillationspunkten bei rationalen Approximationen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Ausgangspunkt war der Wunsch, die Konvergenzeigenschaften rationaler Approximationen an eine meromorphe Funktion f auf einem kompakten Bereich E der komplexen Ebene in Verbindung zu setzen mit meromorphen Fortsetzungen der Funktion in das Außengebiet. Das heißt also: Wie spiegelt sich eine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit der Fehler wider in guten Meromorphieeigenschaften außerhalb von E? Diese Aufgabenstellung ist erstmals durch dieses Forschungsprojekt für die Approximation durch rationale Funktionen mit unbeschränktem Nennergrad gelöst worden. Selbstverständlich erheben die Resultate noch keineswegs den Anspruch auf Vollständigkeit. Offen sind immer noch die Fälle, dass die Nennergrade mn nicht die Bedingung mn = o(n/ log n) für n -> ∞ erfüllen. Dadurch ist die nächste Zielrichtung, von dieser Beschränkung wegzukommen, vorgegeben. Ein Überraschungsergebnis der Untersuchungen stellt die enge Verzahnung der besten Approximationen mit Werteverteilungsaussagen im Sinne von Picard aus der Funktionentheorie dar. Dieses Ergebnis unterstreicht die enge Beziehung zwischen besten Approximationen und Konvergenzaussagen für Potenzreihen, die erstmals in den Jahren 1989 ff. vom Berichterstatter und E. B. Saff entdeckt wurden, eine Analogie zwischen dem Verhalten des höchsten Koeffizienten bester Polynomapproximationen und den Koeffizienten von Potenzreihen.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Growth behavior and zero distribution of rational approximants, Constr. Approx.
H.-P. Blatt, R. K. Kovacheva
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s00365-010-9124-5) - On approximation by entire functions on an unbounded quasi-smooth curve, Comput. Methods Funct. Theory, 9 (2) (2009), 525-550
V. V. Andrievskii, H.-P. Blatt
- Polynomial approximation of functions on a quasi-smooth arc with Hermitian interpolation, Constr. Approx., 30 (2009), 121-135
V. V. Andrievskii, H.-P. Blatt
- Polynomial approximation of piecewise analytic functions on a compact subset of the real line, J. Approx. Theory, 161 (2009), 634-644
V. V. Andrievskii
- On approximation of continuous functions by entire functions on subsets of the real line, Constr. Approx., 32 (2010), 91-130
V. V. Andrievskii
- Polynomials with prescribed zeros on an analytic curve, Acta Math. Hungar., 128 (3) (2010), 221-238
V. V. Andrievskii, H.-P. Blatt
- Growth behavior and zero distribution of maximally convergent rational approximants, Proceedings of the 13th International Conference on Approximation theory, San Antonio, 2011
H.-P. Blatt, R. Grothmann, R. K. Kovacheva
- On approximation of continuous functions by trigonometric polynomials, J. Approx. Theory, 163 (2011), 249-266
V. V. Andrievskii, H.-P. Blatt
- On the distribution of zeros of Faber polynomials, Comput. Methods Funct. Theory, 11 (1) (2011), 263-282
V. V. Andrievskii, H.-P. Blatt
- On the distribution of zeros of monic polynomials with a given uniform norm on a quasidisk, Analysis, 31 (2) (2011)
V. V. Andrievskii, H.-P. Blatt, R. Fieger
- Regions of meromorphy and value distribution of geometrically converging rational functions, J. Math. Anal. Appl.
H.-P. Blatt, R. Grothmann, R. K. Kovacheva
