Kombinatorische Hodgetheorie in der Singularitätentheorie und der torischen Geometrie

• Antragsteller: Professor Dr. Christian Sevenheck
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 539847082

Das Hauptziel dieses Projektes ist es, das Verständnis von Hodgetheoretischen Invarianten, welche man auf der einen Seite Hyperebenenarrangements, und auf der anderen Seite Toruswirkungen zuordnen kann, zu verbessern. In beiden Fällen wollen wir Differentialgleichungssysteme, welche durch diese Hodgestrukturen definiert sind, studieren. Konkret sollen für komplexe Hyperebenenarrangements die Hodgeideale, welche die Hodgefiltration of dem Modul der meromorphen Funktionen entlang des Arrangements bestimmen, untersucht werden. Wir wollen diese kombinatorisch bestimmen, und feststellen, inwieweit sie durch das dem Arrangement zugeordnete Matroid bestimmt sind. Wir werden weiterhin das sogenannte Erzeugtheitsniveau der Hodgefiltration für gewisse Klassen von Arrangements studieren, und verschiedene Kompatibilitätseigenschaften von Filtrationen auf D-Moduln, welche den Hodgemodulstrukturen auf der Garbe der meromorphen Funktionen unterliegen, betrachten. Es sollen außerdem Algorithmen zur Berechung von Hodgeidealen entwickelt und implementiert werden. Eine zweite Forschungsrichtung, die in diesem Projekt verfolgt werden soll, ist das Studium der kombinatorischen Aspekte von Hodgetheorie von hypergeometrischen Differentialgleichungssystemen. Dazu zählen GKZ-Systeme, sowie gewisse Verallgemeinerungen von diesen, für die wir die Dualitätstheorie und manche Anwendungen in der torischen Spiegelsymmetrie untersuchen wollen. Weiterhin werden Verbindungen zwischen hypergeometrischen Systemen und Arrangements, welche mit Hilfe von Bergman-Fächern von Matroiden bestehen, studiert. Schliesslich sollen auch Gewichtsfiltrationen sowohl auf Garben von meromorphen Funktionen als auch auf GKZ-Systemen untersucht werden.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2458: Kombinatorische Synergien