Zufällige Gitterpolytope

• Antragsteller: Professor Dr. Matthias Reitzner
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 539849618

Untersuchungen über Gitterpolytope und ihre Eigenschaften bilden ein äußerst aktives Forschungsgebiet mit Wurzeln in sehr klassischen Fragestellungen. Die Frage, wie ein „durchschnittliches“ Gitterpolytop aussieht, d.h. wie sich kombinatorische und metrische Eigenschaften eines generischen Gitterpolytops verhalten, ist in vielen Anwendungen wichtig und von hohem intrinsischem mathematischen Interesse. Im Speziellen steht der f-Vektor im Fokus der Forschung. Um die Frage nach dem generischen Verhalten zu beantworten, werden zufällige Gitterpolytope untersucht. Klassischen Modelle sind einerseits die zufällige Wahl eines Gitterpolytops aus einer vorgegebenen Menge an Gitterpolytopen, oder ein Gitter mit einer zufälligen Menge zu schneiden und die konvexe Hülle dieser Punkte zu bilden. Der Durchschnitt des ganzzahligen Gitters mit einer zufälligen konvexen Menge, und das dadurch mittels konvexer Hüllenbildung erzeugte Gitterpolytop bilden den Hauptfokus des vorliegenden Antrags. Hierbei nehmen wir das ganzzahlige Gitter und schneiden es mit einer zufälligen konvexen Menge, deren Form vorgegeben ist, aber deren Position zufällig gewählt wird. Alternativ können wir die konvexe Menge fixieren und das Gitter zufällig wählen, indem wir das ganzzahlige Gitter einer zufälligen Translation und Rotation unterziehen. Die konvexe Hülle der Punkte in diesem Durchschnitt bildet ein zufälliges Gitterpolytop, dessen kombinatorische und metrische Struktur relativ komplex ist. Wir interessieren uns für asymptotische Eigenschaften des zufälligen Gitterpolytops, wenn die Größe der konvexen Menge gegen Unendlich geht. Speziell soll untersucht werden, inwieweit das asymptotische Verhalten des zufälligen Gitterpolytops von der Form der zugrunde liegenden konvexen Menge abhängt. Als erstes sollen asymptotische Eigenschaften des Erwartungswerts des f-Vektors in den Blick genommen werden, und die erwartete Volumsdifferenz zwischen der zugrunde liegenden konvexen Menge und dem eingeschriebenen Gitterpolytop. Dann sollen allgemeiner die inneren Volumina und der Hausdorff-Abstand untersucht werden. Dies führt auf die Frage, die zufällige Zahl von Gitterpunkten in großen aber dünnen ‚Kappen‘ zu untersuchen. Weitere Untersuchungen werden sich mit höheren Momenten und dem Verhalten von Verteilungen von Funktionalen zufälliger Gitterpolytope beschäftigen.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2458: Kombinatorische Synergien