Über Arrangments von zusammenhängenden Teilgraphen

• Antragsteller: Professor Dr. Gerhard Röhrle
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 539865068

Die Theorie der Hyperebenenarrangements ist eine treibende Kraft in der Mathematik über viele Jahrzehnte hinweg. Sie liegt am Scheideweg der Algebra, Kombinatorik, algebraischen Geometrie und Topologie. Bei diesem Forschungsvorhaben geht es um das Zusammenspiel von kombinatorischen und geometrischen Aspekten dieser Themen. Im Jahr 2022 führten Cuntz und Kühne eine spezielle Klasse von Hyperebenenarrangements ein, die über einen gegebenen (zusammenhängenden) Graphen G definiert werden, sogenannte Arrangements von zusammenhängenden Teilgraphen A(G). Dazu gehören unter anderem so prominente Klassen wie die Zopf-Arrangements, Shi-Arrangements und sogenannte Resonanz-Arrangements. Die Ziele dieses Vorhabens sind wie folgt. Zunächst wollen wir einige der im Werk von Cuntz und Kühne aufgeworfenen Fragen beantworten. Zweitens wollen wir einige der Ergebnisse aus ihrer Arbeit stärken und erweitern. Drittens hoffen wir einige neue Ergebnisse für diese Klasse von Arrangements beweisen zu können, z.B. über endlichen Körpern. Cuntz und Kühne klassifizierten in ihrer Arbeit alle Arrangements von zusammenhängenden Teilgraphen über den rationalen Zahlen, die frei, faktorisierend, simplizial oder überauflösbar sind. In diesem Vorhaben wollen wir diese Ergebnisse wie folgt erweitern und stärken. Unser Ziel ist es zu zeigen, dass ein Arrangement von zusammenhängenden Teilgraphen A(G) über den rationalen Zahlen genau dann frei ist, wenn es bereits induktiv frei ist; dass es genau dann faktorisierend ist, wenn es schon induktiv faktorisierend ist. Cuntz und Kühne werfen insbesondere die Frage der Klassifikation von asphärischen Arrangements von zusammenhängenden Teilgraphen auf. Dies ist vermutlich eine zu schwere Aufgabe, da die Bestimmung der Asphärizität für ein Arrangement ein notorisch schwieriges Unterfangen ist. Unser weiteres Ziel besteht jedoch darin, eine umfassende Liste von Graphen G zusammenzustellen, für die A(G) nicht asphärisch ist. Da Asphärizität eine lokale Eigenschaft ist, lässt sich daraus schließen, dass große Klassen von Arrangements von zusammenhängenden Teilgraphen nicht asphärisch sind. Hierzu zählen insbesondere die oben genannten Resonanz-Arrangements vom Rang mindestens 5.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2458: Kombinatorische Synergien