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Projekt
Simplizialität in Arrangements und Matroiden
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung seit 2024
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 539866293
Ein Arrangement von Hyperebenen ist eine endliche Menge von linearen Hyperebenen in einem endlich dimensionalen Vektorraum. Ein reelles Arrangement heißt simplizial, wenn alle Kammern simpliziale Kegel sind. Simpliziale Arrangements sind zentrale Objekte an der Schnittstelle der Algebra, Geometrie und Topologie. Beispielsweise sind die Arrangements der reellen Spiegelungsgruppen alle simplizial. Aus geometrischer Sicht ist Simplizialität eine starke Einschränkung; man geht davon aus, dass simpliziale Arrangements selten sind. Ein großer Erfolg wäre daher eine vollständige Klassifikation dieser Arrangements als Verallgemeinerung der Theorie der endlichen Spiegelungsgruppen. Aus kombinatorischer Perspektive ist Simplizialität eine Eigenschaft des Matroids, was die Definition eines simplizialen (orientierten) Matroids ermöglicht. Im Gegensatz zur geometrischen Sicht suggerieren Computerexperimente, dass es sehr viele simpliziale Matroide gibt. In diesem Projekt initiieren wir eine systematische Studie von Simplizialität in Arrangements und Matroiden mit Methoden aus der Algebra, Kombinatorik und Geometrie. Die drei zentralen Paradigmen des Projekts sind "Erzeugung und Realisierung", "Algebra und Konvexität" und "Simpliziale Kombinatorik und Matroide", aus denen sich drei Teilprojekten bilden. Die systematische Erzeugung von simplizialen (orientierten) Matroiden sowie die Bestimmung des geometrischen Realisierungsraums ist das Ziel des Teilprojekts "Higher Rank". Im Rang drei gibt es einen Katalog von simplizialen Arrangements, von dem vermutet wird, dass er vollständig ist. Im höheren Rang ist hingegen deutlich weniger bekannt. Aufbauend auf bewährten Konzepten der Enumeration mittels endlicher Körper werden neue induktive Ansätze erforscht, um simpliziale Arrangements und Matroide in höheren Rängen zu erzeugen. Im Teilprojekt "Reflection Structures" werden Verbindungen zwischen einschreibbaren Arrangements und Spiegelungsarrangements untersucht. Die Klasse der stark einschreibbaren Arrangements haben Zonotope, deren Ecken auf einer Sphäre liegen. Restriktionen von Spiegelungsarrangements sind stark einschreibbar und es wird vermutet, dass es keine weiteren Beispiele gibt. Einschreibbare Arrangements liefern in natürlicher Weise ein Gruppoid, das durch euklidische Spiegelungen erzeugt wird. Dieses Teilprojekt zielt darauf ab, eine algebraische und kombinatorische Theorie der Gruppoide von euklidischen Spiegelungen zu entwickeln. Simpliziale orientierte Matroide lassen sich mit Methoden der Matroid- und der Stanley-Reisner Theorie studieren. Das Teilprojekt "Quantized Invariants" strebt danach, enumerative Invarianten von simplizialen Matroiden zu entwickeln, die die Methodik der Matroide und Simplizialkomplexe verknüpft. Das übergeordnete Ziel ist die Konstruktion von algebraischen Strukturen, die Chow Ringe und Stanley-Reisner Ringe in Einklang bringen und dadurch neue Erkenntnisse über klassische simpliziale Arrangements liefern.
DFG-Verfahren
Schwerpunktprogramme
Teilprojekt zu
SPP 2458:
Kombinatorische Synergien
