Kompartmentalisierte Strukturen

• Antragsteller: Professor Dr. Raman Sanyal
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 539866395

Ein voll-dimensionales konvexes Polytop heißt `unconditional', falls es invariant unter Spiegelungen in den Koordinatenhyperebenen ist. Ein unconditional Polytop lässt sich eindeutig aus der Einschränkung auf einen beliebigen Orthanten rekonstruieren und diese Einschränkungen erfüllen die sogenannte `anti-blocking' Eigenschaft. Die lokal anti-blocking Polytope verzichten auf die Symmetrie und fordern nur, dass die Einschränkung auf jeden Orthanten anti-blocking ist. Die resultierende Unterteilung des Polytops in möglicherweise unterschiedliche anti-blocking Polytope ist ein Beispiel für eine kompartmentalisierte Struktur. Allgemeiner ist ein reiner Fächer eine Menge von gleich-dimensionalen polyhedrischen Kegeln, die sich paarweise in Seiten schneiden. Der Fächer heißt vollständig, wenn seine Kegel den umgebenden Raum überdecken. Ein Polytop heißt kompartmentalisiert bezüglich eines Fächers, wenn die Einschränkung auf jeden Kegel eine verallgemeinerte anti-blocking Bedingung erfüllt. Viele wichtige Klassen von Polytopen sind in diesem Sinne kompartmentalisiert. Bespiele sind die eingeschriebenen beziehungsweise ideal-hyperbolischen Polytope, Polytope, die invariant bezüglich einer Spiegelungsgruppe sind, sowie Orbitpolytope. Für wichtige Klassen von Fächern lässt sich zeigen, dass kompartmentalisierte Polytope unter natürlichen Operationen wie dem Schnitt, Polarität, konvexe Hülle und Minkowski Summe abgeschlossen sind. Dieses Projekt zielt auf die systematische Entwicklung von algebraischen, kombinatorischen und geometrischen Eigenschaften von komparmentalisierten Strukturen. Ein besonderer Fokus liegt dabei auf den Anwendungen innerhalb der Mathematik. Unconditional und lokal anti-blocking Polytope sind ideale Kandidaten zum Testen einer Vielzahl an Vermutung einschließlich der Vermutungen von Mahler und Godbersen sowie der Kalais 3^d-Vermutung. Im ersten Teil des Projekts werden wir diese Vermutungen für allgemeine kompartmentalisierte Polytope untersuchen. Die Abgeschlossenheit bezüglich Polarität ermöglicht es uns, reflexive kompartmentalisierte Gitterpolytope zu studieren und arithmetische Verallgemeinerungen der Mahler Vermutung zu erforschen. Der zweiten Teil des Projekts zielt darauf ab, die Resultate und Techniken für kompartmentalisierte Polytope auf Strukturen mit möglicherweise nicht-vollständigen Fächer zu verallgemeinern. Die Minkowski-Summe ist der Ausgangspunkt einer breiten Theorie von geometrischen Ungleichungen, die sich in wichtigen algebraischen Strukturen manifestieren. In diesem Teil des Projekts werden die Auswirkungen von Minkowski Summation auf nicht-konvexe kompartmentalisierte Strukturen untersucht. Zusammen mit den resultierenden algebraischen Strukturen und den zugehörigen geometrischen Ungleichungen verallgemeinern nicht-konvexe kompartmentalisierte Strukturen die sogennanten `normal complexes', die eine geometrische Perspektive auf die Hodge-Theorie von Matroiden bieten.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2458: Kombinatorische Synergien